Question

已知△ABC中，點D是BC的中點，過點D的直線分別交直線AB、AC于E、F兩點，若

AB

=λ

AE

（λ＞0），

AC

=μ

AF

(μ＞0)，則

1

λ

+

4

μ

的最小值是

9

2

．

Answer 1

分析：由題意可得

AD

=

λ

2

AE

+

μ

2

AF

，由D、E、F三點共直線可得

λ

2

+

μ

2

=1，故

1

λ

+

4

μ

=（

1

λ

+

4

μ

）（

λ

2

+

μ

2

）=

5

2

+

2λ

μ

+

μ

2λ

，下面由基本不等式可得答案．

解答：解：由題意可得

AB

+

AC

=2

AD

，即λ

AE

+μ

AF

=2

AD

，
故

AD

=

λ

2

AE

+

μ

2

AF

，由D、E、F在同一條直線上，故

λ

2

+

μ

2

=1
所以

1

λ

+

4

μ

=（

1

λ

+

4

μ

）（

λ

2

+

μ

2

）=

5

2

+

2λ

μ

+

μ

2λ

因為λ＞0，μ＞0由基本不等式可得

5

2

+

2λ

μ

+

μ

2λ

≥

5

2

+2

2λ μ • μ 2λ

=

9

2

當(dāng)且僅當(dāng)

2λ

μ

=

μ

2λ

，即μ=2λ時取等號．
故答案為：

9

2

點評：本題為向量與基本不等式的結(jié)合，其中向量式的結(jié)論和“1”的代入是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．