Question

已知函數(shù)，
（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=log₂（x-k）有實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）問(wèn)：方程f（x）=x+1是否有實(shí)根？如果有，設(shè)為x₀，請(qǐng)求出一個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間（a，b），使x₀∈（a，b）；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由。
（注：區(qū)間（a，b）的長(zhǎng)度為b-a）

Answer 1

解：（1）由，得-1＜x＜1，
所以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）；
因?yàn)閒（-x）+f（x）=log₂+log₂=log₂=log₂1=0，
所以f（-x）=-f（x），
即f（x）是奇函數(shù)；
（2）方程f（x）=log₂（x-k）有實(shí)根，
也就是方程=x-k，即k=x-在（-1，1）內(nèi)有解，
所以實(shí)數(shù)k屬于函數(shù)y=x-=x+1-在（-1，1）內(nèi)的值域。
令x+1=t，則t∈（0，2），
因?yàn)閥=t-在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，
所以t-∈（-∞，1），
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，1）；
（3）設(shè)g（x）=f（x）-x-1=log₂-x-1（-1＜x＜1），
用“二分法”逐步探求，先算區(qū)間（-1，1）的中點(diǎn)g（0）=-1＜0；
由于g（x）在（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞減，
于是再算區(qū)間（-1，0）的中點(diǎn)g（-）=log₂3-＞0；
然后算區(qū)間（-，0）的中點(diǎn) g（-）＜0；
最后算區(qū)間（-，-）的中點(diǎn)g（-）＞0，
所以g（-）·g（-）＜0，
所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（-，-）內(nèi)有零點(diǎn)x₀，
即方程f（x）=x+1在（-，-）內(nèi)有實(shí)根x₀，
又該區(qū)間長(zhǎng)度為，
因此，所求的一個(gè)區(qū)間可以是（-，-）。
（答案不唯一）