Question

（2012•江西）若函數(shù)h（x）滿足
①h（0）=1，h（1）=0；
②對(duì)任意a∈[0，1]，有h（h（a））=a；
③在（0，1）上單調(diào)遞減．則稱h（x）為補(bǔ)函數(shù)．已知函數(shù)h（x）=(

1-xp

1+λxp

)

1

p

（λ＞-1，p＞0）
（1）判函數(shù)h（x）是否為補(bǔ)函數(shù)，并證明你的結(jié)論；
（2）若存在m∈[0，1]，使得h（m）=m，若m是函數(shù)h（x）的中介元，記p=

1

n

（n∈N₊）時(shí)h（x）的中介元為x_n，且S_n=

n

i=1

xi，若對(duì)任意的n∈N₊，都有S_n＜

1

2

，求λ的取值范圍；
（3）當(dāng)λ=0，x∈（0，1）時(shí)，函數(shù)y=h（x）的圖象總在直線y=1-x的上方，求P的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）可通過對(duì)函數(shù)h（x）=(

1-xp

1+λxp

)

1

p

（λ＞-1，p＞0）進(jìn)行研究，探究其是否滿足補(bǔ)函數(shù)的三個(gè)條件來確定函數(shù)是否是補(bǔ)函數(shù)；
（2）由題意，先根據(jù)中介元的定義得出中介元x_n通式，代入S_n=

n

i=1

xi，計(jì)算出和，然后結(jié)合極限的思想，利用S_n＜

1

2

得到參數(shù)的不等式，解出它的取值范圍；
（3）λ=0，x∈（0，1）時(shí)，對(duì)參數(shù)p分灰討論由函數(shù)y=h（x）的圖象總在直線y=1-x的上方這一位置關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，解出p的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)h（x）是補(bǔ)函數(shù)，證明如下：
①h（0）=(

1-0p

1+λ×0p

)

1

p

=1，h（1）=(

1-1

1+λ

)

1

p

=0；
②任意a∈[0，1]，有h（h（a））=h（(

1-ap

1+λ×ap

)

1

p

）=(

1- 1-ap 1+λ×ap

1+λ× 1-ap 1+λ×ap

)

1

p

=(

(1+λ)ap

1+λ

)

1

p

=a
③令g（x）=（h（x））^p，有g(shù)′（x）=

-pxp-1(1+λ×xp)-(1-xp)λpxp-1

(1+λ×xp)2

=

-p(1+λ)xp-1

(1+λ×xp)2

，因?yàn)棣耍?，p＞0，
所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，故h（x）在（0，1）上是減函數(shù)
由上證，函數(shù)h（x）是補(bǔ)函數(shù)
（2）當(dāng)p=

1

n

（n∈N^*），由h（x）=x得λx

2

n

+2x

1

n

-1=0(*)，
（i）當(dāng)λ=0時(shí)，中介元x_n=(

1

2

)n，
（ii）當(dāng)λ＞-1且λ≠0時(shí)，由（*）得x

1

n

=

1

1+λ +1

∈（0，1）或x

1

n

=

1

1- 1+λ

∉（0，1），得中介元x_n=(

1

1+λ? +1

)n，
綜合（i）（ii）：對(duì)任意的λ＞-1，中介元為x_n=(

1

1+λ? +1

)n，
于是當(dāng)λ＞-1時(shí)，有S_n=

n

i=1

x1=

n

i=1

(

1

1+λ? +1

)i=

1

1+λ?

(1-(

1

1+λ? +1

)n)＜

1

1+λ?

，
當(dāng)n無限增大時(shí)，(

1

1+λ? +1

)n無限接近于0，S_n無限接近于

1

1+λ?

，
故對(duì)任意的非零自然數(shù)n，S_n＜

1

2

等價(jià)于

1

1+λ?

≤

1

2

，即λ∈[3，+∞）
（3）當(dāng)λ=0時(shí)，h（x）=(1-xp)

1

p

，中介元為xp=(

1

2

)

1

p

．
（i）0＜p≤1時(shí)，

1

p

≥1，中介元為xp=(

1

2

)

1

p

≤

1

2

，所以點(diǎn)（x_p，h（x_p））不在直線y=1-x的上方，不符合條件；
（ii）當(dāng)p＞1時(shí)，依題意只需(1-xp)

1

p

＞1-x在x∈（0，1）時(shí)恒成立，也即x^p+（1-x）^p＜1在x∈（0，1）時(shí)恒成立
設(shè)φ（x）=x^p+（1-x）^p，x∈（0，1），則φ′（x）=p（x^p-1-（1-x）^p-1）
令φ′（x）=0，得x=

1

2

，且當(dāng)x∈（0，

1

2

）時(shí)，φ′（x）＜0，當(dāng)x∈（

1

2

，1）時(shí)，φ′（x）＞0，又φ（0）=φ（1）=1，所以x∈（0，1）時(shí)，φ（x）＜1恒成立．
綜上，p的取值范圍是（1，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查綜合法與分析法，探究性強(qiáng)，難度較大，綜合考查了轉(zhuǎn)化的思想，導(dǎo)數(shù)在最值中的運(yùn)用，極限的思想，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大，對(duì)邏輯推理要求較高，極易出錯(cuò)或者找不到轉(zhuǎn)化的方向，解題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真，避免馬虎出錯(cuò)