【題目】已成橢圓 的離心率為 .其右頂點與上頂點的距離為 ,過點 的直線 與橢圓 相交于 兩點.
(1)求橢圓 的方程;
(2)設(shè) 中點,且 點的坐標為 ,當 時,求直線 的方程.

【答案】
(1)

由題意可知: ,又 ,

,所以橢圓 的方程為 ;


(2)

①若直線 的斜率不存在,此時 為原點,滿足 ,所以,方程為 ,

②若直線 的斜率存在,設(shè)其方程為

將直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得

,即

可得 ,

設(shè) ,則 ,

可知 ,

化簡得 ,

解得 ,將結(jié)果代入 驗證,舍掉 ,

此時,直線 的方程為 ,

綜上所述,直線 的方程為 .


【解析】(1)易知焦點在x軸上,原點到右頂點的距離為a,原點到上頂點的距離為b,依據(jù)題意有a+b=5,然后根據(jù)離心率即可求出a、b的值;(2)分兩種情況進行討論:①斜率不存在時;②斜率存在時,設(shè)出直線方程,表示出M的坐標,通過QM⊥AB,求出直線的斜率,進而求出直線方程。
【考點精析】關(guān)于本題考查的橢圓的概念和橢圓的標準方程,需要了解平面內(nèi)與兩個定點,的距離之和等于常數(shù)(大于)的點的軌跡稱為橢圓,這兩個定點稱為橢圓的焦點,兩焦點的距離稱為橢圓的焦距;橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:才能得出正確答案.

練習冊系列答案
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