Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且點(diǎn)P（a_n，S_n）（其中n≥1且n∈N^*）在直線4x-3y-1=0上，數(shù)列$\{\frac{1}{b_n}\}$是首項(xiàng)為-1，公差為-2的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${c_n}=\frac{1}{{{a_n}{b_n}}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)在直線上，得到遞推關(guān)系式，判斷數(shù)列是等比數(shù)列，然后求出通項(xiàng)公式．
（2）化簡數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法求和即可．

解答 （1）解：由點(diǎn)P（a_n，S_n）在直線4x-3y-1=0上，
∴4a_n-3S_n-1=0即3S_n=4a_n-1，又3S_n-1=4a_n-1-1（n≥2），兩式相減得a_n=4a_n-1，
∴$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=4（n≥2）$，∴{a_n}是以4為公比的等比數(shù)列，
又a₁=1，∴${a_n}={4^{n-1}}$，
∵$\{\frac{1}{b_n}\}$是以$\frac{1}{b_1}=-1$為首項(xiàng)，以-2為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{b_n}=-1+（n-1）×（-2）=1-2n$，
∴${b_n}=\frac{1}{1-2n}$．
（2）由（1）知，${c_n}=\frac{1}{{{a_n}{b_n}}}=\frac{1-2n}{{{4^{n-1}}}}$，∴${T_n}=\frac{-1}{4^0}+\frac{-3}{4^1}+\frac{-5}{4^2}+…+\frac{3-2n}{{{4^{n-2}}}}+\frac{1-2n}{{{4^{n-1}}}}$，
∴$\frac{1}{4}{T_n}=\frac{-1}{4^1}+\frac{-3}{4^2}+…+\frac{3-2n}{{{4^{n-1}}}}+\frac{1-2n}{4^n}$，以上兩式相減得，
$\frac{3}{4}{T}_{n}=-1-（\frac{2}{{4}^{1}}+\frac{2}{{4}^{2}}+…+\frac{2}{{4}^{n-1}}）-\frac{1-2n}{{4}^{n}}$
=$-1-\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{4}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{4}}-\frac{1-2n}{{4}^{n}}$
=$-\frac{5}{3}$+$\frac{6n+5}{3×{4}^{n}}$，

∴T_n=$-\frac{20}{9}+\frac{6n+5}{9×{4}^{n-1}}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式以及數(shù)列求和的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．