（2012•西區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=ax3+bx+4a，a，b∈R，當x=2，f（x）有極值-
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（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=k有3個解，求實數(shù)k的取值范圍．
分析：（1）由題意可得f′（2）=0，f（2）=-
4
3
，由此列方程組可解得a，b，從而可得f（x）解析式；
（2）由（1）所求解析式可得f′（x），利用導數(shù)可得f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值，根據(jù)f（x）的圖象的大致形狀即可求得k的范圍；
解答：解：（1）f′（x）=3ax2+b，
依題意得
f′(2)=12a+b=0
f(2)=8a+2b+4=-
4
3
，解得
a=
1
3
b=-4
，
所以所求解析式為f（x）=
1
3
x3-4x+
4
3
．
（2）由（1）可得f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2），
令f′（x）=0，得x=±2，
當x＜-2或x＞2時f′（x）＞0，當-2＜x＜2時，f′（x）＜0；
所以當x=-2時f（x）取得極大值，f（-2）=
20
3
，當x=2時f（x）取得極小值，f（2）=-4，
要使方程f（x）=k有3個解，只需-4＜k＜
20
3
．
故實數(shù)k的取值范圍為：-4＜k＜
20
3
．
點評：本題考查函數(shù)在某點取得極值的條件及根的個數(shù)判斷，考查數(shù)形結合思想，屬中檔題．
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