【題目】如圖,在四面體中,分別是線段的中點,,,,直線與平面所成的角等于.
(Ⅰ)證明:平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)見證明; (Ⅱ) 。
【解析】
(Ⅰ)先證得,再證得,于是可得平面,根據(jù)面面垂直的判定定理可得平面平面.(Ⅱ)利用幾何法求解或建立坐標(biāo)系,利用向量求解即可得到所求.
(Ⅰ)在中,是斜邊的中點,
所以.
因為是的中點,
所以,且,
所以,
所以.
又因為,
所以,
又,
所以平面,
因為平面,
所以平面平面.
(Ⅱ)方法一:取中點,連,則,
因為,
所以.
又因為,,
所以平面,
所以平面.
因此是直線與平面所成的角.
故,
所以.
過點作于,則平面,
且.
過點作于,連接,
則為二面角的平面角.
因為,
所以,
所以,
因此二面角的余弦值為.
方法二:
如圖所示,在平面BCD中,作x軸⊥BD,以B為坐標(biāo)原點,BD,BA所在直線為y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
因為 (同方法一,過程略)
則,,.
所以,,,
設(shè)平面的法向量,
則,即,取,得.
設(shè)平面的法向量
則,即,取,得.
所以,
由圖形得二面角為銳角,
因此二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對同一類的,,,四項參賽作品,只評一項一等獎,在評獎揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對這四項參賽作品預(yù)測如下:
甲說:“是或作品獲得一等獎”;
乙說:“作品獲得一等獎”;
丙說:“,兩項作品未獲得一等獎”;
丁說:“是作品獲得一等獎”.
若這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎的作品是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線(為參數(shù)),曲線,將的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)縮短為原來的得到曲線.
(1)求曲線的普通方程,曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點為曲線上的任意一點,為曲線上的任意一點,求線段的最小值,并求此時的的坐標(biāo);
(3)過(2)中求出的點做一直線,交曲線于兩點,求面積的最大值(為直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點),并求出此時直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)滿足如下條件:
①函數(shù)的最小值為,最大值為9;
②且;
③若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),則的最大值為2.
試探究并解決如下問題:
(Ⅰ)求,并求的值;
(Ⅱ)求函數(shù)的圖象的對稱軸方程;
(Ⅲ)設(shè)是函數(shù)的零點,求的值的集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高三年級有1000人,某次數(shù)學(xué)考試不同成績段的人數(shù).
(1)求該校此次數(shù)學(xué)考試平均成績;
(2)計算得分超過141的人數(shù);
(3)甲同學(xué)每次數(shù)學(xué)考試進(jìn)入年級前100名的概率是,若本學(xué)期有4次考試, 表示進(jìn)入前100名的次數(shù),寫出的分布列,并求期望與方差.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)在上的最值;
(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列各一元二次不等式中,解集為空集的是( 。
A.(x+3)(x﹣1)>0B.(x+4)(x﹣1)<0
C.x2﹣2x+3<0D.2x2﹣3x﹣2>0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)A,B,C,D為平面內(nèi)的四點,且A(1,3),B(2,–2),C(4,1).
(1)若,求D點的坐標(biāo);
(2)設(shè)向量,,若k–與+3平行,求實數(shù) 的值.
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