【題目】如圖,在四面體中,分別是線段的中點,,,直線與平面所成的角等于

(Ⅰ)證明:平面平面;

(Ⅱ)求二面角的余弦值.

【答案】(Ⅰ)見證明; (Ⅱ) 。

【解析】

(Ⅰ)先證得,再證得,于是可得平面,根據(jù)面面垂直的判定定理可得平面平面.(Ⅱ)利用幾何法求解或建立坐標(biāo)系,利用向量求解即可得到所求.

(Ⅰ)在中,是斜邊的中點,

所以.

因為的中點,

所以,且

所以,

所以.

又因為

所以,

所以平面,

因為平面,

所以平面平面

(Ⅱ)方法一:取中點,連,則

因為,

所以.

又因為,

所以平面,

所以平面

因此是直線與平面所成的角.

所以.

過點,則平面,

過點,連接

為二面角的平面角.

因為,

所以

所以,

因此二面角的余弦值為

方法二:

如圖所示,在平面BCD中,作x軸⊥BD,以B為坐標(biāo)原點,BD,BA所在直線為y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系

因為 (同方法一,過程略)

,,

所以,,

設(shè)平面的法向量,

,即,取,得

設(shè)平面的法向量

,即,取,得

所以

由圖形得二面角為銳角,

因此二面角的余弦值為

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