Question

成都市為“市中學(xué)生知識(shí)競(jìng)賽”進(jìn)行選拔性測(cè)試，且規(guī)定：成績(jī)大于或等于90分的有參賽資格，90分以下（不包括90分）的則被淘汰。若現(xiàn)有500人參加測(cè)試，學(xué)生成績(jī)的頻率分布直方圖如下：

（I）求獲得參賽資格的人數(shù)；
（II）根據(jù)頻率直方圖，估算這500名學(xué)生測(cè)試的平均成績(jī)；
（III）若知識(shí)競(jìng)賽分初賽和復(fù)賽，在初賽中每人最多有5次選題答題的機(jī)會(huì)，累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止，答對(duì)3題者方可參加復(fù)賽，已知參賽者甲答對(duì)每一個(gè)問題的概率都相同，并且相互之間沒有影響，已知他連續(xù)兩次答錯(cuò)的概率為，求甲在初賽中答題個(gè)數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

（I） 125；（II）78.48；（III） 分布列為：

	3	4	5

數(shù)學(xué)期望為.

試題分析：（I）將頻率分布直方圖中90~150的小矩形的面積相加，便得獲得參賽資格的人數(shù)的頻率.頻率乘以測(cè)試總?cè)藬?shù)500，便得獲得參賽資格的人數(shù).
（II）在頻率分布直方圖中，平均值等于每小組的頻率乘以每小組中點(diǎn)的值的和.
（III）已知連續(xù)兩次答錯(cuò)的概率為，由此可得答對(duì)每一道題的概率.注意，答題的個(gè)數(shù)包括答對(duì)的和答錯(cuò)的.顯然答題的個(gè)數(shù)可取3、4、5. “”表示連續(xù)答對(duì)3個(gè)或連續(xù)答錯(cuò)3個(gè)；“”表示前3題中恰好答對(duì)2個(gè)且第4 個(gè)題答對(duì)或前3題中恰好答錯(cuò)2個(gè)且第4 個(gè)題答錯(cuò)；“”表示前4個(gè)題恰好答對(duì)2個(gè).根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式便可得 的分布列，由隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式可求得的期望.
試題解析：（I）獲得參賽資格的人數(shù)    2分
（II）平均成績(jī)：

        5分
（III）設(shè)甲答對(duì)每一道題的概率為.P
則

的分布列為

	3	4	5

        12分