【題目】已知函數(shù),

時,,求實數(shù)a的取值范圍;

時,曲線和曲線是否存在公共切線?并說明理由.

【答案】(1);(2)存在公共切線,理由詳見解析.

【解析】

(1)構(gòu)造函數(shù),求出其最大值,解不等式即可得到實數(shù)的取值范圍;

(2)假設(shè)存在這樣的直線且直線與曲線和曲線分別相切與點.分別求出兩條切線方程,根據(jù)斜率與縱截距建立方程組,減元后得到,構(gòu)造新函數(shù)研究單調(diào)性與極值即可.

解:,則.

,則,若,則.

所以上是增函數(shù),在上是減函數(shù).

所以的極大值點,也是的最大值點,即.

恒成立,則只需,解得.

所以實數(shù)的取值范圍是.

假設(shè)存在這樣的直線且與曲線和曲線分別相切與點.

,得.

曲線在點處的切線方程為,即.

同理可得,

曲線在點處的切線方程為,即.

所以,即

構(gòu)造函數(shù)

存在直線與曲線和曲線相切,

等價于函數(shù)上有零點

對于.

時,,在上單調(diào)遞增.

時,因為,所以上是減函數(shù).

,,所以存在,使得,即.

且當時,當時,.

綜上,上是增函數(shù),在上是減函數(shù).

所以的極大值,也是最大值,且.

,所以內(nèi)和內(nèi)各有一個零點.

故假設(shè)成立,即曲線和曲線存在公共切線.

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