已知橢圓,拋物線的焦點(diǎn)均在軸上,的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn),每條曲線上取兩個(gè)點(diǎn),將其坐標(biāo)記錄于表中:

(1)求,的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)斜率不為0的動(dòng)直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),且與的準(zhǔn)線交于,試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

【答案】

(1) ,;(2)存在定點(diǎn).

【解析】

試題分析:(1)設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,由點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出基本量即得;(2)巧設(shè)直線的方程為,由直線與橢圓相切,求得,利用直線的準(zhǔn)線相交求點(diǎn)的坐標(biāo),寫出以為直徑的圓的方程,利用恒成立求解.

試題解析:(1)設(shè),的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,,∵代入拋物線方程中得到的解相同,∴,      (3分)

在橢圓上,把點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程得,,則,

的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為.        (6分)

(2)設(shè)直線的方程為,將其代入消去并化簡(jiǎn)整理得:

,又直線與橢圓相切,

,∴,     (8分)

設(shè)切點(diǎn),則,

又直線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)

∴以為直徑的圓的方程為,      (10分)

化簡(jiǎn)整理得恒成立,

,,即存在定點(diǎn)符合題意.       (13分)

考點(diǎn): 橢圓、拋物線的性質(zhì),圓的性質(zhì),直線與圓橢圓的關(guān)系,定點(diǎn)問題.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓、拋物線的焦點(diǎn)均在軸上,的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn),從每條曲線上各取兩個(gè)點(diǎn),將其坐標(biāo)記錄于下表中:

3

2

4

0

4

⑴求的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵是否存在直線滿足條件:①過(guò)的焦點(diǎn);②與交不同兩點(diǎn)且滿足?若存在,求出直線的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

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已知橢圓,拋物線的焦點(diǎn)均在軸上,的中心和的頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn),從每條曲線上各取兩個(gè)點(diǎn),將其坐標(biāo)記錄于表中:

 

 

 

 

 

 

(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)請(qǐng)問是否存在直線同時(shí)滿足條件:(ⅰ)過(guò)的焦點(diǎn);(ⅱ)與交于不同兩點(diǎn)、,且滿足.若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

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  已知橢圓、拋物線的焦點(diǎn)均在軸上,的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn),從每條曲線上取兩個(gè)點(diǎn),將其坐標(biāo)記錄于下表中:

3

4

0

(1)求,的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)請(qǐng)問是否存在直線滿足條件:①過(guò)的焦點(diǎn);②與交于不同兩點(diǎn),,且滿足?若存在,求出直線的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

 

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(本小題滿分12分)

已知橢圓、拋物線的焦點(diǎn)均在軸上,的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn),從每條曲線上各取兩個(gè)點(diǎn),將其坐標(biāo)記錄于下表中:

 

3

2

4

0

4

[

 

⑴求的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵是否存在直線滿足條件:①過(guò)的焦點(diǎn);②與交不同兩點(diǎn)且滿足?若存在,求出直線的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

 

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