Question

5．過拋物線C：y²=4x的焦點F作直線l交C于A，B兩點，若$|{AF}|=\frac{3}{2}$，則|BF|=3．

Answer 1

分析 將直線AB的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及拋物線的性質，即可求得$\frac{1}{丨AF丨}$+$\frac{1}{丨BF丨}$=1，由$|{AF}|=\frac{3}{2}$，代入即可求得|BF|的值．

解答 解：拋物線C：y²=4x的焦點F坐標（1，0），準線方程為x=-1．
設過F點直線方程為y=k（x-1），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
代$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化簡后為：k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
則x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
根據拋物線性質可知，|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，
∴$\frac{1}{丨AF丨}$+$\frac{1}{丨BF丨}$=$\frac{{x}_{1}+1+{x}_{2}+1}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{1}{x}_{2}+1}$=1，
將$|{AF}|=\frac{3}{2}$代入上式得：|BF|=3．
故答案為：3．

點評 本題考拋物線的性質，直線與拋物線的位置關系，拋物線焦半徑公式，考查計算能力，屬于中檔題．