【題目】設(shè){an}和{bn}是兩個等差數(shù)列,記cn=max{b1﹣a1n,b2﹣a2n,…,bn﹣ann}(n=1,2,3,…),其中max{x1 , x2 , …,xs}表示x1 , x2 , …,xs這s個數(shù)中最大的數(shù).(13分)
(1)若an=n,bn=2n﹣1,求c1 , c2 , c3的值,并證明{cn}是等差數(shù)列;
(2)證明:或者對任意正數(shù)M,存在正整數(shù)m,當(dāng)n≥m時, >M;或者存在正整數(shù)m,使得cm , cm+1 , cm+2 , …是等差數(shù)列.
【答案】
(1)
解: a1=1,a2=2,a3=3,b1=1,b2=3,b3=5,
當(dāng)n=1時,c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0,
當(dāng)n=2時,c2=max{b1﹣2a1,b2﹣2a2}=max{﹣1,﹣1}=﹣1,
當(dāng)n=3時,c3=max{b1﹣3a1,b2﹣3a2,b3﹣3a3}=max{﹣2,﹣3,﹣4}=﹣2,
下面證明:對n∈N*,且n≥2,都有cn=b1﹣na1,
當(dāng)n∈N*,且2≤k≤n時,
則(bk﹣nak)﹣(b1﹣na1),
=[(2k﹣1)﹣nk]﹣1+n,
=(2k﹣2)﹣n(k﹣1),
=(k﹣1)(2﹣n),由k﹣1>0,且2﹣n≤0,
則(bk﹣nak)﹣(b1﹣na1)≤0,則b1﹣na1≥bk﹣nak,
因此,對n∈N*,且n≥2,cn=b1﹣na1=1﹣n,
cn+1﹣cn=﹣1,
∴c2﹣c1=﹣1,
∴cn+1﹣cn=﹣1對n∈N*均成立,
∴數(shù)列{cn}是等差數(shù)列;
(2)
證明:設(shè)數(shù)列{an}和{bn}的公差分別為d1,d2,下面考慮的cn取值,
由b1﹣a1n,b2﹣a2n,…,bn﹣ann,
考慮其中任意bi﹣ain,(i∈N*,且1≤i≤n),
則bi﹣ain=[b1+(i﹣1)d1]﹣[a1+(i﹣1)d2]×n,
=(b1﹣a1n)+(i﹣1)(d2﹣d1×n),
下面分d1=0,d1>0,d1<0三種情況進(jìn)行討論,
①若d1=0,則bi﹣ain═(b1﹣a1n)+(i﹣1)d2,
當(dāng)若d2≤0,則(bi﹣ain)﹣(b1﹣a1n)=(i﹣1)d2≤0,
則對于給定的正整數(shù)n而言,cn=b1﹣a1n,此時cn+1﹣cn=﹣a1,
∴數(shù)列{cn}是等差數(shù)列;
當(dāng)d1>0,(bi﹣ain)﹣(bn﹣ann)=(i﹣1)d2≤0,
則對于給定的正整數(shù)n而言,cn=bn﹣ann=bn﹣a1n,
此時cn+1﹣cn=d2﹣a1,
∴數(shù)列{cn}是等差數(shù)列;
此時取m=1,則c1,c2,…,是等差數(shù)列,命題成立;
②若d1>0,則此時﹣d1n+d2為一個關(guān)于n的一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)的一次函數(shù),
故必存在m∈N*,使得n≥m時,﹣d1n+d2<0,
則當(dāng)n≥m時,(bi﹣ain)﹣(b1﹣a1n)=(i﹣1)(﹣d1n+d2)≤0,(i∈N*,1≤i≤n),
因此當(dāng)n≥m時,cn=b1﹣a1n,
此時cn+1﹣cn=﹣a1,故數(shù)列{cn}從第m項(xiàng)開始為等差數(shù)列,命題成立;
③若d1<0,此時﹣d1n+d2為一個關(guān)于n的一次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的一次函數(shù),
故必存在s∈N*,使得n≥s時,﹣d1n+d2>0,
則當(dāng)n≥s時,(bi﹣ain)﹣(bn﹣ann)=(i﹣1)(﹣d1n+d2)≤0,(i∈N*,1≤i≤n),
因此,當(dāng)n≥s時,cn=bn﹣ann,
此時= =﹣an+ ,
=﹣d2n+(d1﹣a1+d2)+ ,
令﹣d1=A>0,d1﹣a1+d2=B,b1﹣d2=C,
下面證明: =An+B+ 對任意正整數(shù)M,存在正整數(shù)m,使得n≥m, >M,
若C≥0,取m=[ +1],[x]表示不大于x的最大整數(shù),
當(dāng)n≥m時, ≥An+B≥Am+B=A[ +1]+B>A +B=M,
此時命題成立;
若C<0,取m=[ ]+1,
當(dāng)n≥m時,
≥An+B+ ≥Am+B+C>A +B+C ≥M﹣C﹣B+B+C=M,
此時命題成立,
因此對任意正數(shù)M,存在正整數(shù)m,使得當(dāng)n≥m時, >M;
綜合以上三種情況,命題得證.
【解析】(1.)分別求得a1=1,a2=2,a3=3,b1=1,b2=3,b3=5,代入即可求得c1 , c2 , c3;由(bk﹣nak)﹣(b1﹣na1)≤0,則b1﹣na1≥bk﹣nak , 則cn=b1﹣na1=1﹣n,cn+1﹣cn=﹣1對n∈N*均成立;
(2.)由bi﹣ain=[b1+(i﹣1)d1]﹣[a1+(i﹣1)d2]×n=(b1﹣a1n)+(i﹣1)(d2﹣d1×n),分類討論d1=0,d1>0,d1<0三種情況進(jìn)行討論根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),即可求得使得cm , cm+1 , cm+2 , …是等差數(shù)列;設(shè) =An+B+ 對任意正整數(shù)M,存在正整數(shù)m,使得n≥m, >M,分類討論,采用放縮法即可求得因此對任意正數(shù)M,存在正整數(shù)m,使得當(dāng)n≥m時, >M.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用等差關(guān)系的確定的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù),即-=d ,(n≥2,n∈N)那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.
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(Ⅰ)若從這6個國家中任選2個,求這2個國家都是亞洲國家的概率;
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【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足:,,
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【題目】2013年1月,北京經(jīng)歷了59年來霧霾天氣最多的一個月.據(jù)氣象局統(tǒng)計(jì),北京市2013年1月1日至1月30日這30天里有26天出現(xiàn)霧霾天氣,《環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)技術(shù)規(guī)定(試行)》如表1:
表1 空氣質(zhì)量指數(shù)AQI分組表
AQI指數(shù)M | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~300 | >300 |
級別 | Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ | Ⅳ | Ⅴ | Ⅵ |
狀況 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴(yán)重污染 |
表2是某氣象觀測點(diǎn)記錄的連續(xù)4天里AQI指數(shù)M與當(dāng)天的空氣水平可見度y(km)的情況,表3是某氣象觀測點(diǎn)記錄的北京市2013年1月1日至1月30日的AQI指數(shù)頻數(shù)分布表.
表2 AQI指數(shù)M與當(dāng)天的空氣水平可見度y(km)的情況
AQI指數(shù)M | 900 | 700 | 300 | 100 |
空氣水平可見度y(km) | 0.5 | 3.5 | 6.5 | 9.5 |
表3 北京市2013年1月1日至1月30日AQI指數(shù)頻數(shù)分布表
AQI指數(shù)M | [0,200) | [200,400) | [400,600) | [600,800) | [800,1000] |
頻數(shù) | 3 | 6 | 12 | 6 | 3 |
(1)設(shè)x=,根據(jù)表2的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程.
(參考公式:,.)
(2)小王在北京開了一家洗車店,經(jīng)小王統(tǒng)計(jì):當(dāng)AQI指數(shù)低于200時,洗車店平均每天虧損約2000元;當(dāng)AQI指數(shù)在200至400時,洗車店平均每天收入約4000元;當(dāng)AQI指數(shù)不低于400時,洗車店平均每天收入約7000元.
①估計(jì)小王的洗車店在2013年1月份平均每天的收入;
②從AQI指數(shù)在[0,200)和[800,1000]內(nèi)的這6天中抽取2天,求這2天的收入之和不低于5000元的概率.
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【題目】函數(shù)f(x)=ln(x2﹣2x﹣8)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.(﹣∞,﹣2)
B.(﹣∞,﹣1)
C.(1,+∞)
D.(4,+∞)
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(1)求橢圓的方程;
(2)求的取值范圍.
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