D、E、F分別是△ABC的三條邊AB、BC、CA上的動點(diǎn),且它們在初始時刻分別從A、B、C出發(fā),各以一定速度沿各邊向B、C、A移動.當(dāng)t=1時,分別到達(dá)B、C、A.求證:在0≤t≤1的任一時刻t1,△DEF的重心不變.

圖11

證明:如圖11.

    建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)A、B、C坐標(biāo)分別為(0,0),(a,0),(m,n).

    在任一時刻t1∈(0,1),因速度一定,其距離之比等于時間之比,有=λ,由定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式可得D、E、F的坐標(biāo)分別為(at1,0),(a+(m-a)t1,nt1),(m-mt1,n-nt1).由重心坐標(biāo)公式可得△DEF的重心坐標(biāo)為().

當(dāng)t=0或t=1時,△ABC的重心也為(),

故對任一t1∈[0,1],△DEF的重心不變.

點(diǎn)評:主要考查定比分點(diǎn)公式及建立平面直角坐標(biāo)系,只要證△ABC的重心和時刻t1的△DEF的重心相同即可.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則（　�。�
A、
AD
+
DF
+
CF
=
0
B、
BD
-
CF
+
DF
=
0
C、
AD
+
CE
-
CF
=
0
D、
BD
-
BE
-
FC
=
0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四面體PABC的六條棱均相等，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，則下列四個結(jié)論中不成立的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)且
BD
=2
DC
，
EA
=2
CE
，
FB
=2
AF
，則
AD
+
BE
+
CF
與
BC
（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，則下列各式不正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•韶關(guān)二模）如圖（1）在等腰△ABC中，D、E、F分別是AB、AC、BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ACD沿CD翻折，使得平面ACD⊥平面BCD．（如圖（2））
（1）求證：AB∥平面DEF；
（2）求證：BD⊥AC；
（3）設(shè)三棱錐A-BCD的體積為V1、多面體ABFED的體積為V2，求V1：V2的值．

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