Question

【題目】已知橢圓C： (a>b>0)經(jīng)過點(，1)，以原點為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)設(shè)過點(－1,0)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，試問在x軸上是否存在一個定點M，使得恒為定值？若存在，求出該定值及點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)－.

【解析】試題分析：(Ⅰ) 由以原點為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點可知，將點 代入橢圓方程，即可求得和的值，從而求得橢圓方程；(Ⅱ) 分類討論，當斜率存在時，將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理及向量數(shù)量積的坐標運算，及恒為定值即可求得的值，從而求得的值及點坐標；當直線的斜率不存在時，點，則時，求得的值及點坐標.

試題解析：(Ⅰ)由題意可得圓的方程為x2＋y2＝b2.因為該圓經(jīng)過橢圓的焦點，所以半焦距c＝b，所以a2＝2b2.將點(，1)代入橢圓方程可得b2＝2，a2＝4，

所以橢圓C的方程為.

(Ⅱ)設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(m,0)．

當直線l的斜率k存在時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)．

聯(lián)立得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－4＝0，

則x1＋x2＝，x1x2＝，

又y1y2＝k2(x1＋1)(x2＋1)＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)＝k2＝，

而＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝＋

＝

＝為定值，

只需，解得m＝－，從而＝－，

當直線l的斜率k不存在時，點A(－1， )，B(－1，-)，

此時，當m＝－時， ＝(－1－m)(－1－m)－＝－.

綜上，存在點M(－，0)，使得＝－.

【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和平面向量數(shù)量積公式，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.