Question

設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)P（-3，3），且傾斜角為

5

6

π
（1）寫(xiě)出直線l的參數(shù)方程；
（2）設(shè)此直線與曲線C：

x=2cosθ y=4sinθ

（θ為參數(shù)）交A、B兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線的參數(shù)方程的特征及參數(shù)的幾何意義，直接寫(xiě)出直線的參數(shù)方程．
（2）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（-3-

3

2

t₁，3+

1

2

t₁），B（2-

3

2

t₁，3+

1

2

t₁）．把直線L的參數(shù)方程代入圓的橢圓的方程4x²+y²=16整理得到t²+（12

3

+3）t+

116

13

=0，由根與系數(shù)的關(guān)系及t的幾何意義可知|PA||PB|=|t₁||t₂|，從而求得結(jié)果．

解答：解：（1）由于過(guò)點(diǎn)（a，b） 傾斜角為α 的直線的參數(shù)方程為  

x=a+t•cosα y=b+t•sinα

（t是參數(shù)），
∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-3，3），傾斜角α=

5π

6

，故直線的參數(shù)方程是

x=-3- 3 2 t y=3+ 1 2 t

（t是參數(shù)）．…（5分）
（2）因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在直線l上，所以可設(shè)它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t₁和t₁，則點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（-3-

3

2

t₁，3+

1

2

t₁），B（2-

3

2

t₁，3+

1

2

t₁）．
把直線L的參數(shù)方程代入橢圓的方程4x²+y²=16整理得到t²+（12

3

+3）t+

116

13

=0①，…（8分）
因?yàn)閠₁和t₂是方程①的解，從而t₁t₂=

116

13

，
由t的幾何意義可知|PA||PB|=|t₁||t₂|=

116

13

． …（10分）
即|PA|•|PB|=

116

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線的參數(shù)方程，以及直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．