【題目】如圖1,∠ACB=45°,BC=3,過動點A作AD⊥BC,垂足D在線段BC上且異于點B,連接AB,沿AD將△ABD折起,使∠BDC=90°(如圖2所示),

(1)當(dāng)BD的長為多少時,三棱錐A﹣BCD的體積最大;
(2)當(dāng)三棱錐A﹣BCD的體積最大時,設(shè)點E,M分別為棱BC,AC的中點,試在棱CD上確定一點N,使得EN⊥BM,并求EN與平面BMN所成角的大小.

【答案】
(1)解:設(shè)BD=x,則CD=3﹣x

∵∠ACB=45°,AD⊥BC,∴AD=CD=3﹣x

∵折起前AD⊥BC,∴折起后AD⊥BD,AD⊥CD,BD∩DC=D

∴AD⊥平面BCD

∴VABCD= ×AD×SBCD= ×(3﹣x)× ×x(3﹣x)= (x3﹣6x2+9x)

設(shè)f(x)= (x3﹣6x2+9x) x∈(0,3),

∵f′(x)= (x﹣1)(x﹣3),∴f(x)在(0,1)上為增函數(shù),在(1,3)上為減函數(shù)

∴當(dāng)x=1時,函數(shù)f(x)取最大值

∴當(dāng)BD=1時,三棱錐A﹣BCD的體積最大


(2)解:以D為原點,建立如圖直角坐標(biāo)系D﹣xyz,

由(1)知,三棱錐A﹣BCD的體積最大時,BD=1,AD=CD=2

∴D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),M(0,1,1),E( ,1,0),且 =(﹣1,1,1)

設(shè)N(0,λ,0),則 =(﹣ ,λ﹣1,0)

∵EN⊥BM,∴ =0

即(﹣1,1,1)(﹣ ,λ﹣1,0)= +λ﹣1=0,∴λ= ,∴N(0, ,0)

∴當(dāng)DN= 時,EN⊥BM

設(shè)平面BMN的一個法向量為 =(x,y,z),由 =(﹣1, ,0)

,取 =(1,2,﹣1)

設(shè)EN與平面BMN所成角為θ,則 =(﹣ ,﹣ ,0)

sinθ=|cos< >|=| |= =

∴θ=60°

∴EN與平面BMN所成角的大小為60°


【解析】(1)設(shè)BD=x,先利用線面垂直的判定定理證明AD即為三棱錐A﹣BCD的高,再將三棱錐的體積表示為x的函數(shù),最后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即可;(2)由(1)可先建立空間直角坐標(biāo)系,寫出相關(guān)點的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo),設(shè)出動點N的坐標(biāo),先利用線線垂直的充要條件計算出N點坐標(biāo),從而確定N點位置,再求平面BMN的法向量,從而利用夾角公式即可求得所求線面角
【考點精析】本題主要考查了用空間向量求直線與平面的夾角的相關(guān)知識點,需要掌握設(shè)直線的方向向量為,平面的法向量為,直線與平面所成的角為的夾角為, 則的余角或的補角的余角.即有:才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若函數(shù)h(x)滿足
①h(0)=1,h(1)=0;
②對任意a∈[0,1],有h(h(a))=a;
③在(0,1)上單調(diào)遞減.則稱h(x)為補函數(shù).已知函數(shù)h(x)= (λ>﹣1,p>0)
(1)判函數(shù)h(x)是否為補函數(shù),并證明你的結(jié)論;
(2)若存在m∈[0,1],使得h(m)=m,若m是函數(shù)h(x)的中介元,記p= (n∈N+)時h(x)的中介元為xn , 且Sn= ,若對任意的n∈N+ , 都有Sn ,求λ的取值范圍;
(3)當(dāng)λ=0,x∈(0,1)時,函數(shù)y=h(x)的圖象總在直線y=1﹣x的上方,求P的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】我國古代著名的數(shù)學(xué)著作有10部算書,被稱為“算經(jīng)十書”.某校數(shù)學(xué)興趣小組甲、乙、丙、丁四名同學(xué)對古代著名的數(shù)學(xué)著作產(chǎn)生濃厚的興趣.一天,他們根據(jù)最近對這十部書的閱讀本數(shù)情況說了這些話,甲:“乙比丁少”;乙:“甲比丙多”;丙:“我比丁多”; 丁:“丙比乙多”,他們說的這些話中,只有一個人說的是真實的,而這個人正是他們四個人中讀書本數(shù)最少的一個(他們四個人對這十部書閱讀本數(shù)各不相同).甲、乙、丙、丁按各人讀書本數(shù)由少到多的排列是( )

A. 乙甲丙丁 B. 甲丁乙丙 C. 丙甲丁乙 D. 甲丙乙丁

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某共享單車企業(yè)在城市就“一天中一輛單車的平均成本與租用單車數(shù)量之間的關(guān)系”進(jìn)行了調(diào)查,并將相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表:

根據(jù)以上數(shù)據(jù),研究人員設(shè)計了兩種不同的回歸分析模型,得到兩個擬合函數(shù):

模型甲:,模型乙:.

(1)為了評價兩種模型的擬合效果,完成以下任務(wù):

①完成下表(計算結(jié)果精確到0.1元)(備注:稱為相應(yīng)于點的殘差);

②分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和,并通過比較的大小,判斷哪個模型擬合效果更好.

(2)這家企業(yè)在4城市投放共享單車后,受到廣大市民的熱烈歡迎并供不應(yīng)求,于是該企業(yè)決定增加單車投放量.根據(jù)市場調(diào)查,市場投放量達(dá)到1萬輛時,平均每輛單車一天能收入7.2元;市場投放量達(dá)到1.2萬輛時,平均每輛單車一天能收入6.8元.若按(1)中擬合效果較好的模型計算一天中一輛單車的平均成本,問該企業(yè)投放量選擇1萬輛還是1.2萬輛能獲得更多利潤?請說明理由.(利潤收入成本)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知圓有以下性質(zhì):

①過圓上一點的圓的切線方程是.

②若不在坐標(biāo)軸上的點為圓外一點,過作圓的兩條切線,切點分別為,則垂直,即.

(1)類比上述有關(guān)結(jié)論,猜想過橢圓上一點的切線方程 (不要求證明);

(2)若過橢圓外一點不在坐標(biāo)軸上)作兩直線,與橢圓相切于兩點,求證:為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),且).

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)求函數(shù)上的最大值.

【答案】(Ⅰ)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.(Ⅱ)當(dāng)時, ;當(dāng)時, .

【解析】試題分析】(I)利用的二階導(dǎo)數(shù)來研究求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(II) 由(Ⅰ)得上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,由此可知.利用導(dǎo)數(shù)和對分類討論求得函數(shù)在不同取值時的最大值.

試題解析】

(Ⅰ),

設(shè) ,則.

, ,∴上單調(diào)遞增,

從而得上單調(diào)遞增,又∵

∴當(dāng)時, ,當(dāng)時,

因此, 的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

由此可知.

, ,

.

設(shè),

.

∵當(dāng)時, ,∴上單調(diào)遞增.

又∵,∴當(dāng)時, ;當(dāng)時, .

①當(dāng)時, ,即,這時, ;

②當(dāng)時, ,即,這時, .

綜上, 上的最大值為:當(dāng)時,

當(dāng)時, .

[點睛]本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導(dǎo)數(shù)求最大值. 與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題,往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點,并結(jié)合特殊點,從而判斷函數(shù)的大致圖像,討論其圖象與軸的位置關(guān)系,進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍;或通過對方程等價變形轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題.

型】解答
結(jié)束】
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中,圓的普通方程為. 在以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為 .

(Ⅰ) 寫出圓 的參數(shù)方程和直線的直角坐標(biāo)方程;

( Ⅱ ) 設(shè)直線軸和軸的交點分別為,為圓上的任意一點,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知B為線段MN上一點,|MN|=6,|BN|=2,動圓C與MN相切于點B,分別過M,N作圓C的切線,兩切線交于點P.求點P的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況,隨機訪問50名職工,根據(jù)這50名職工對該部門的評分,繪制頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為

1)求頻率分布直方圖中的值;

2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率;

3)從評分在的受訪職工中,隨機抽取2人,求此2人評分都在的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某公司生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品所得利潤分別為(萬元),它們與投入資金(萬元)的關(guān)系有經(jīng)驗公式,.今將120萬元資金投入生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,并要求對甲、乙兩種產(chǎn)品的投資金額都不低于20萬元.

(Ⅰ)設(shè)對乙產(chǎn)品投入資金萬元,求總利潤(萬元)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及其定義域;

(Ⅱ)如何分配使用資金,才能使所得總利潤最大?最大利潤為多少?

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