Question

【題目】如圖，在三棱柱 中，底面 是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形， 為 的中點(diǎn).

（1）求證： 平面 ；
（2）若四邊形 是正方形，且 ， 求直線 與平面 所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AC1，設(shè)AC1與A1C交于點(diǎn)E ，連接 ，則 為 中點(diǎn)，

為 的中點(diǎn),

∴ 平面 .

（2）解：取 的中點(diǎn) ，連結(jié) ，則

，故 ，∴

, 平面

取 中點(diǎn) ，連結(jié) ，過點(diǎn)作 ，則MN平面BCC1B1

連結(jié) ， ，

為直線 與平面 所成的角，

即直線 與平面所 成的角的正弦值為 .

【解析】（1）連接AC1交A1C于點(diǎn)E，連接DE，則DE為三角形ABC1的中位線，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；（2）取B1C1 的中點(diǎn) H ，連結(jié) A1H ，則根據(jù)線面垂直的判定定理易知A1H平面BCC1B1，取A1B1的中點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MNA1H，則MN平面BCC1B1，因?yàn)锳1DBM，所以即為直線A1D與平面BCC1B1所成角.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行)，還要掌握空間角的異面直線所成的角(已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．