Question

已知函數(shù).
（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（3）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）增區(qū)間，減區(qū)間；（2）；（3）.

試題分析：（1）將代入函數(shù)解析式，直接利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）將條件“在區(qū)間上為減函數(shù)”等價轉(zhuǎn)化為“不等式在區(qū)間上恒成立”，結(jié)合參數(shù)分離法進行求解；（3）構(gòu)造新函數(shù)，將“不等式在區(qū)間上恒成立”等價轉(zhuǎn)化為“”，利用導數(shù)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性圍繞進行求解，從而求出實數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1）當時，，
，
解得；解得，
故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；
（2）因為函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，
所以對恒成立，
即對恒成立，；
（3）因為當時，不等式恒成立，
即恒成立，設，
只需即可
由，
①當時，，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立；
②當時，令，因為，所以解得，
（i）當，即時，在區(qū)間上，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故在上無最大值，不合題設；
（ii）當時，即時，在區(qū)間上；在區(qū)間上．
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，同樣在無最大值，不滿足條件；
③當時，由，故，，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.