【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+2x-6。
(1)證明:函數(shù)f(x)在其定義域上是增函數(shù);
(2)證明:函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn);
(3)求這個(gè)零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間,使這個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度不超過(guò)。
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3) .
【解析】
(1)直接根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,即可證明;
(2)由零點(diǎn)判定定理,即可證明;
(3)由(2)知,該零點(diǎn)在區(qū)間(2,3)上,從而利用二分法確定區(qū)間即可.
(1)證明:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>(0,+∞),設(shè)0<x1<x2,則lnx1<lnx2, 2x1<2x2.
∴ lnx1+2x1-6<lnx2+2x2-6. ∴f(x1)<f(x2).
∴ f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
(2)證明:∵ f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0,
∴f(2)·f(3)<0. ∴ f(x)在(2,3)上至少有一個(gè)零點(diǎn),
又由(1)可知f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),因此函數(shù)至多有一個(gè)根,
從而函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
(3)解:由(2)可知f(x)的零點(diǎn),
取,,
∴ 區(qū)間長(zhǎng)度
取,,∴.
∴,區(qū)間長(zhǎng)度,
∴即為符合條件的區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知互不重合的直線,互不重合的平面,給出下列四個(gè)命題,正確命題的個(gè)數(shù)是
①若 , ,,則
②若,,則
③若,,,則
④若 , ,則//
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)為上的奇函數(shù),求實(shí)數(shù)a的值;
(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)在為減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)是否存在實(shí)數(shù)(),使得 在閉區(qū)間上的最大值為2,若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a,b,c分別為銳角△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且(a+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC (Ⅰ)求∠A的大;
(Ⅱ)若f(x)= sin cos +cos2 ,求f(B)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù),則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】∵,
∴,
又函數(shù)在單調(diào)遞增,
∴在上恒成立,
即在上恒成立。
又當(dāng)時(shí), ,
∴。
又,
∴。
故實(shí)數(shù)的取值范圍是。
答案:
點(diǎn)睛:對(duì)于導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系要分清以下結(jié)論:
(1)當(dāng)時(shí),若,則在區(qū)間D上單調(diào)遞增(減);
(2)若函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(減),則在區(qū)間D上恒成立。即解題時(shí)可將函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的問(wèn)題,但此時(shí)不要忘記等號(hào)。
【題型】填空題
【結(jié)束】
19
【題目】某珠寶店丟了一件珍貴珠寶,以下四人中只有一人說(shuō)真話,只有一人偷了珠寶.甲:我沒(méi)有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;。何覜](méi)有偷.根據(jù)以上條件,可以判斷偷珠寶的人是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,離心率,短軸長(zhǎng)為2.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)(非長(zhǎng)軸端點(diǎn)),的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn),的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn),若面積為,求直線的方程.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)或
【解析】試題分析:(Ⅰ)由題意得,再由 橢圓的方程為;(Ⅱ)①當(dāng)直線斜率不存在時(shí),不妨取面積為 ,不符合題意. ②當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)直線, 由 得 ,再求點(diǎn)的直線的距離 點(diǎn)到直線的距離為面積為 ∴或 所求方程為或.
試題解析:
(Ⅰ)由題意得,∴,
∵,∴,
∴橢圓的方程為.
(Ⅱ)①當(dāng)直線斜率不存在時(shí),不妨取,
∴面積為 ,不符合題意.
②當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)直線,
由化簡(jiǎn)得,
設(shè),
∴ ,
∵點(diǎn)的直線的距離,
又是線段的中點(diǎn),∴點(diǎn)到直線的距離為,
∴面積為 ,
∴,∴,∴,∴或,
∴直線的方程為或.
【題型】解答題
【結(jié)束】
25
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(Ⅱ)若,且,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖放置的邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC沿x軸滾動(dòng),記滾動(dòng)過(guò)程中頂點(diǎn)A的橫、縱坐標(biāo)分別為和,且是在映射作用下的象,則下列說(shuō)法中:
① 映射的值域是;
② 映射不是一個(gè)函數(shù);
③ 映射是函數(shù),且是偶函數(shù);
④ 映射是函數(shù),且單增區(qū)間為,
其中正確說(shuō)法的序號(hào)是___________.
說(shuō)明:“正三角形ABC沿x軸滾動(dòng)”包括沿x軸正方向和沿x軸負(fù)方向滾動(dòng).沿x軸正方向滾動(dòng)指的是先以頂點(diǎn)B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)頂點(diǎn)C落在x軸上時(shí),再以頂點(diǎn)C為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn),如此繼續(xù).類(lèi)似地,正三角形ABC可以沿x軸負(fù)方向滾動(dòng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是
A. [–1,0) B. [0,+∞) C. [–1,+∞) D. [1,+∞)
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