Question

【題目】已知橢圓，為其左焦點，在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）若是橢圓上不同的兩點，以為直徑的圓過原點，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設(shè)橢圓的右焦點為，根據(jù)在橢圓上，利用橢圓的定義得到，又得解.

（2）分斜率存在和不存在兩種情況討論，當直線的斜率不存在時，由橢圓的對稱性，可知，求得A，B坐標求解.當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)以為直徑的圓過原點，則，再利用直角三角形中線定理有，將韋達定理代入，兩式聯(lián)立求解.

（1）設(shè)橢圓的右焦點為，根據(jù)橢圓的定義：，

又，

，橢圓的方程為.

（2）當直線的斜率不存在時，由對稱性可知，

不妨設(shè)，則，，此時.

當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，，

聯(lián)立，得，

由，得，

由韋達定理得，，

因為以為直徑的圓過原點，

所以，

即，

即，滿足式.

設(shè)的中點是，則，，

，

，當且僅當時等號成立，即，

又因為，所以的最大值為.