已知函數(shù).
(1)求證:函數(shù)在點處的切線恒過定點,并求出定點坐標;
(2)若在區(qū)間上恒成立,求的取值范圍;
(3)當時,求證:在區(qū)間上,滿足恒成立的函數(shù)
有無窮多個.
解:(1)因為 ,所以在點處的切線的斜率為
,
所以在點處的切線方程為 ,……2分
整理得,所以切線恒過定點 . ………4分
(2) 令<0,對恒成立,
因為 (*)
………………………………………………………………6分
令,得極值點,,
①當時,有,即時,在(,+∞)上有,
此時在區(qū)間上是增函數(shù),并且在該區(qū)間上有∈,不合題意;
②當時,有,同理可知,在區(qū)間上,有∈,
也不合題意; …………………………………………… 8分
③當時,有,此時在區(qū)間上恒有,
從而在區(qū)間上是減函數(shù);
要使在此區(qū)間上恒成立,只須滿足,
所以.
綜上可知的范圍是. ……………………………………………12分
(3)當時,
記.
因為,所以在上為增函數(shù),
所以, ………………………………14分
設, 則,
所以在區(qū)間上,滿足恒成立的函數(shù)有無窮多個.16分
解析
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
若函數(shù)f(x)=ax3-bx+4,當x=2時,函數(shù)f(x)有極值-.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若關于x的方程f(x)=k有三個根,求實數(shù)k的取值范圍
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)已知函數(shù).
(1)若曲線在和處的切線互相平行,求的值;
(2)求的單調(diào)區(qū)間;
(3)設,若對任意,均存在,使得,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=log3(ax+b)的部分圖象如圖所示.
(1)求f(x)的解析式與定義域;
(2)函數(shù)f(x)能否由y=log3x的圖象平移變換得到;
(3)求f(x)在[4,6]上的最大值、最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分) 已知函數(shù)在處取得極值。
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)求證:對于區(qū)間上任意兩個自變量的值,都有;
(Ⅲ)若過點可作曲線的三條切線,求實數(shù)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分10分)為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗,房屋的屋頂和
外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成
本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)
滿足兩個關系:①C(x)=②若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬
元。設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.
(Ⅰ)求k的值及f(x)的表達式; (4分)
(Ⅱ)隔熱層修建多厚時,總費用f(x)達到最小,并求最小值.
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