【題目】若函數(shù)對定義域內(nèi)的每一個值在其定義域內(nèi)都存在唯一的使成立,則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”.

(1)判斷函數(shù)是否為“依賴函數(shù)”,并說明理由;

(2)若函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”,求實數(shù)乘積的取值范圍;

(3)已知函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”,若存在實數(shù)使得對任意的有不等式都成立,求實數(shù)的最大值.

【答案】1)是“依賴函數(shù)”,理由見解析;(2);(3)實數(shù)的最大值為

【解析】

1)利用新定義,對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意的,取,即可判斷是否依賴函數(shù);
2)因為遞增,故,推出,得到,求出的表達式,然后求解的范圍.
3)因,故上單調(diào)遞增,求出的值,代入可得不等式都成立,即恒成立,利用判別式以及函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值即可.

解:(1)對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意的,取,

,
且由上單調(diào)遞增,可知的取值唯一,
依賴函數(shù);
2)首先證明:當(dāng)在定義域上上單調(diào)遞增,且為“依賴函數(shù)”時,有。

假設(shè),則當(dāng)時,存在,使得,

當(dāng)時,存在,使得

由于在定義域上上單調(diào)遞增,故,

矛盾,故。

因為遞增,且為“依賴函數(shù)”


,
,得,故,
,

解得
上單調(diào)遞減,


3)因,故上單調(diào)遞增,且為依賴函數(shù)
從而,即,

進而
解得(舍),
從而,存在,使得對任意的,有不等式都成立,
恒成立,

,
,由,

可得,
單調(diào)遞增,

故當(dāng)時,
從而,解得

故實數(shù)的最大值為

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(1)求曲線C的方程;
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