【題目】如圖,在中,,,,E,F分別為,的中點,是由繞直線旋轉得到,連結,,.
(1)證明:平面;
(2)若與平面所成的角為60°,求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)要證平面,則證和;證由平面幾何知識可得,證,只需證,即證平面,利用線面垂直判定可得.
(2)建立空間直角坐標系,根據與平面所成的角為60°,可知為等邊三角形,分別計算平面、平面的一個法向量,然后根據向量的夾角公式,可得結果.
解法一:
(1)因為由沿旋轉得到,且E為中點,
所以.所以
又因為F為的中點,所以,
又,所以,
從而,又,所以平面,
即平面,又平面,所以,
又且,所以平面
(2)由(1)得平面,因為平面,
所以平面平面
過點P作,交于M
又平面平面,故平面,
所以為與平面所成的角,
所以,
又,所以為等邊三角形,
得M為中點,由平面,
分別以,為x,y軸的正方向,
建立如圖所示的空間直角坐標系,
,,,,
,,
易得平面的一個法向量為,
,
設為平面的一個法向量,則:
,即,
令,得,
又因為二面角的大小為鈍角,
故二面角的余弦值為
解法二:
(1)因為由沿旋轉得到,所以,
又因為E為的中點,所以.
所以,即,
同理,,得,
又,所以平面
(2)由(1)得,又,
所以平面,又因為平面,
所以平面平面.
過點P作,垂足為M,
因為平面平面,所以平面,
所以為與平面所成的角,所以,
因為,所以為等邊三角形,所以M為中點,
取的中點N,連接,所以,所以平面,
分別以,,為x,y,z軸的正方向,
建立如圖所示的空間直角坐標系,
,,,,
,,
易得平面的一個法向量為,
,
設為平面的一個法向量,則:
,即,
令,得,
又因為二面角的大小為鈍角,
故二面角的余弦值為
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】給定數(shù)列,記該數(shù)列前項中的最大項為,該數(shù)列后項,, …..,中的最小項為,.
(1)對于數(shù)列:3,4,7,1,求出相應的,,;
(2)是數(shù)列的前項和,若對任意,有,其中且,
①設,判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列;
②若數(shù)列對應的滿足:對任意的正整數(shù)恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為實現(xiàn)2020年全面建設小康社會,某地進行產業(yè)的升級改造.經市場調研和科學研判,準備大規(guī)模生產某高科技產品的一個核心部件,目前只有甲、乙兩種設備可以獨立生產該部件.如圖是從甲設備生產的部件中隨機抽取400件,對其核心部件的尺寸x,進行統(tǒng)計整理的頻率分布直方圖.
根據行業(yè)質量標準規(guī)定,該核心部件尺寸x滿足:|x﹣12|≤1為一級品,1<|x﹣12|≤2為二級品,|x﹣12|>2為三級品.
(Ⅰ)現(xiàn)根據頻率分布直方圖中的分組,用分層抽樣的方法先從這400件樣本中抽取40件產品,再從所抽取的40件產品中,抽取2件尺寸x∈[12,15]的產品,記ξ為這2件產品中尺寸x∈[14,15]的產品個數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學期望;
(Ⅱ)將甲設備生產的產品成箱包裝出售時,需要進行檢驗.已知每箱有100件產品,每件產品的檢驗費用為50元.檢驗規(guī)定:若檢驗出三級品需更換為一級或二級品;若不檢驗,讓三級品進入買家,廠家需向買家每件支付200元補償.現(xiàn)從一箱產品中隨機抽檢了10件,結果發(fā)現(xiàn)有1件三級品.若將甲設備的樣本頻率作為總體的慨率,以廠家支付費用作為決策依據,問是否對該箱中剩余產品進行一一檢驗?請說明理由;
(Ⅲ)為加大升級力度,廠家需增購設備.已知這種產品的利潤如下:一級品的利潤為500元/件;二級品的利潤為400元/件;三級品的利潤為200元/件.乙種設備產品中一、二、三級品的概率分別是,,.若將甲設備的樣本頻率作為總體的概率,以廠家的利潤作為決策依據.應選購哪種設備?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),將曲線經過伸縮變換后得到曲線.在以原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標系中,直線的極坐標方程為.
(1)說明曲線是哪一種曲線,并將曲線的方程化為極坐標方程;
(2)已知點是曲線上的任意一點,又直線上有兩點和,且,又點的極角為,點的極角為銳角.求:
①點的極角;
②面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2018年12月18日上午10時,在人民大會堂舉行了慶祝改革開放40周年大會.40年眾志成城,40年砥礪奮進,40年春風化雨,中國人民用雙手書寫了國家和民族發(fā)展的壯麗史詩.會后,央視媒體平臺,收到了來自全國各地的紀念改革開放40年變化的老照片,并從眾多照片中抽取了100張照片參加“改革開放40年圖片展”,其作者年齡集中在之間,根據統(tǒng)計結果,做出頻率分布直方圖如下:
(Ⅰ)求這100位作者年齡的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組數(shù)據用該區(qū)間的中點值作代表);
(Ⅱ)由頻率分布直方圖可以認為,作者年齡X服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平
均數(shù),近似為樣本方差.
(i)利用該正態(tài)分布,求;
(ii)央視媒體平臺從年齡在和的作者中,按照分層抽樣的方法,抽出了7人參加“紀念改革開放40年圖片展”表彰大會,現(xiàn)要從中選出3人作為代表發(fā)言,設這3位發(fā)言者的年齡落在區(qū)間的人數(shù)是Y,求變量Y的分布列和數(shù)學期望.附:,若,則,
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設α,β是空間中的兩個平面,l,m是兩條直線,則使得α∥β成立的一個充分條件是( )
A.lα,mβ,l∥mB.l⊥m,l∥α,m⊥β
C.lα,mα,l∥β,m∥βD.l∥m,l⊥α,m⊥β
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知正方體的棱長為2,平面過正方體的一個頂點,且與正方體每條棱所在直線所成的角相等,則該正方體在平面內的正投影面積是__________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),將曲線經過伸縮變換后得到曲線.在以原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標系中,直線的極坐標方程為.
(1)說明曲線是哪一種曲線,并將曲線的方程化為極坐標方程;
(2)已知點是曲線上的任意一點,又直線上有兩點和,且,又點的極角為,點的極角為銳角.求:
①點的極角;
②面積的取值范圍.
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