Question

已知圓C1：x2+y2=1，橢圓C2：

x2

3

+

2y2

3

=1，四邊形PQRS為橢圓C₂的內(nèi)接菱形．
（1）若點(diǎn)P(-

6

2

，  

3

2

)，試探求點(diǎn)S（在第一象限的內(nèi)）的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，試探討菱形PQRS與圓C₁的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓和菱形的對(duì)稱(chēng)性及直線(xiàn)與橢圓的方程聯(lián)立即可解出；
（2）利用菱形的對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交的解法、根與系數(shù)的關(guān)系、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的判定方法即可得出．

解答：解：（1）利用橢圓和菱形的對(duì)稱(chēng)性可知：點(diǎn)R與P關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)S與Q關(guān)于原點(diǎn)OD對(duì)稱(chēng)，
∴k_OPk_OS=-1，而k_OP=

3 2

- 6 2

=-

2

2

，∴k_OS=

2

．
∴直線(xiàn)SO的方程為y=

2

x，
聯(lián)立

y= 2 x x2 3 + 2y2 3 =1

，及x＞0，解得

x= 15 5 y= 30 5

，
∴S(

15

5

，

30

5

)．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），S（x₂，y₂），
①當(dāng)直線(xiàn)PS的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)PS的方程為：y=kx+t，
聯(lián)立

y=kx+t x2+2y2=3

消去y得到關(guān)于x的一元二次方程：（1+2k²）x²+4ktx+2t²-3=0，
∵直線(xiàn)與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，∴△=16k²t²-4（1+2k²）（2t²-3）＞0，即3+6k²＞2t²．（*）
∴x1+x2=-

4kt

1+2k2

，x1x2=

2t2-3

1+2k2

．
∵OP⊥OS，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
又y₁=kx₁+t，y₂=kx₂+t，
∴x₁x₂+（kx₁+t）（kx₂+t）=0，
整理為(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0，
代入得(1+k2)×

2t2-3

1+2k2

-

4k2t2

1+2k2

+t2=0，
化為t²=k²+1，滿(mǎn)足（*）式．
∴原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離d=

|t|

1+k2

=1，
∴菱形PQRS與 圓C₁相切．
②當(dāng)直線(xiàn)PS的斜率不存在時(shí)，上述結(jié)論也成立．
綜上可得：點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，試探討菱形PQRS與 圓C₁的位置關(guān)系是相切．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓和菱形的對(duì)稱(chēng)性、菱形的對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交的解法、根與系數(shù)的關(guān)系、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的判定方法是解題的關(guān)鍵．