(2013•寧波模擬)如圖,已知圓C1x2+(y-1)2=4和拋物線C2:y=x2-1,過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與C2相交于點(diǎn)A、B,定點(diǎn)M坐標(biāo)為(0,-1),直線MA,MB分別與C1相交于點(diǎn)D、E.
(1)求證:MA⊥MB.
(2)記△MAB,△MDE的面積分別為S1、S2,若
S1S2
,求λ的取值范圍.
分析:(1)設(shè)出AB所在的直線方程,和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的二次方程,利用根與系數(shù)關(guān)系寫出x1+x2,x1x2,寫出向量
MA
MB
的數(shù)量積,結(jié)合x1+x2,x1x2整理后即可得到結(jié)論;
(2)利用直線方程斜截式寫出MA和MB所在直線方程,分別和拋物線方程及圓的方程聯(lián)立后求出A,B,D,E點(diǎn)的坐標(biāo),寫出△MAB,△MDE的面積,面積作比后轉(zhuǎn)化為一條直線的斜率的表達(dá)式,然后利用基本不等式求λ的取值范圍.
解答:解(1)設(shè)直線AB:y=kx,A(x1,y1),B(x2,y2
聯(lián)立
y=kx
y=x2-1
,得x2-kx-1=0.
則x1+x2=k,x1x2=-1.
MA
=(x1,y1+1)
MB
=(x2,y2+1)

所以
MA
MB
=(x1y1+1)•(x2,y2+1)

=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1
=-k2-1+k2+1=0.
所以MA⊥MB.
(2)設(shè)直線MA:y=k1x-1;MB:y=k2x-1,k1k2=-1
y=k1x-1
y=x2-1
,得
x=0
y=-1
x=k1
y=k12-1
,所以A(k1,k12-1)
同理可得B(k2,k22-1)
S1=
1
2
|MA||MB|=
1
2
1+
k
2
1
1+
k
2
2
|k1k2|

y=k1x-1
x2+(y-1)2=4
,得
x=0
y=-1
x=
4k1
1+2k12
y=
2k12-1
1+2k12
,所以D(
4k1
1+2k12
,
2k12-1
1+2k12
)
,
同理可得E(
4k2
1+2
k
2
2
2k22-1
1+2
k
2
2
)

S2=
1
2
|MD||ME|=
1
2
1+
k
2
1
1+
k
2
2
|16k1k2|
(1+2
k
2
1
)(1+2
k
2
2
)
.
S1
S2
=λ=
(1+2
k
2
1
)(1+2
k
2
2
)
16
=
5+2(
1
k
2
1
+
k
2
1
)
16
9
16

所以λ的取值范圍是[
9
16
,+∞)
點(diǎn)評:本題考查了直線與圓、直線與圓錐曲線的關(guān)系,考查了利用向量的數(shù)量積判斷兩條直線垂直,訓(xùn)練了利用基本不等式求最值,解答此類問題時(shí),設(shè)點(diǎn)而不解點(diǎn)是常用的方法,關(guān)鍵是靈活運(yùn)用題目所給條件,把看似比較分散的問題,集中到與求解結(jié)果相關(guān)的路子上,是有一定難度題目.
練習(xí)冊系列答案
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(2013•寧波模擬)如圖,橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
2
2
,x軸被曲線C2:y=x2-b截得的線段長等于C1的短軸長.C2與y軸的交點(diǎn)為M,過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于點(diǎn)A、B,直線MA,MB分別與C1相交于點(diǎn)D、E.
(1)求C1、C2的方程;
(2)求證:MA⊥MB.
(3)記△MAB,△MDE的面積分別為S1、S2,若
S1
S2
,求λ的取值范圍.

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(2013•寧波模擬)若方程x2-5x+m=0與x2-10x+n=0的四個(gè)根適當(dāng)排列后,恰好組成一個(gè)首項(xiàng)1的等比數(shù)列,則m:n值為( 。

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(2013•寧波模擬)已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),滿足
MF1
MF2
的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部,則橢圓離心率的取值范圍是
(O,
2
2
(O,
2
2

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(2013•寧波模擬)已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],其中e是自然常數(shù),a∈R.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若f(x)≥3恒成立,求a的取值范圍.

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(2013•寧波模擬)等差數(shù)列{an}中,2a1+3a2=11,2a3=a2+a6-4,其前n項(xiàng)和為sn
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿足 bn=
1
sn+1-1
,其前n項(xiàng)和為Tn,求證Tn
3
4

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