【題目】下圖是一塊平行四邊形園地，經(jīng)測量，.擬過線段上一點(diǎn) 設(shè)計一條直路（點(diǎn)在四邊形的邊上，不計直路的寬度），將該園地分為面積之比為的左，右兩部分分別種植不同花卉.設(shè)（單位：m）.

（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，試確定點(diǎn)的位置；

（2）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（3）試確定點(diǎn)的位置，使直路的長度最短.

【答案】(1)是的中點(diǎn);(2);(3) 當(dāng),時,最短,其長度為.

【解析】

(1)由可知,從而證明是的中點(diǎn).

(2)求出平行四邊形的面積為,進(jìn)而可求,從而用 可將表示出來,利用余弦定理即可得到關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.

(3)當(dāng) ,由二次函數(shù)的性質(zhì)可求最值;當(dāng)時,由基本不等式可求最值.

解:(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時,由題設(shè)知,.

于是,其中為平行四邊形邊上的高.

得,即點(diǎn)是的中點(diǎn).

(2)因為點(diǎn)在線段上,所以.當(dāng)時,由(1)知

點(diǎn)在線段上.因為

所以.

由得,.所以中,由余弦定理得

.

當(dāng)時,點(diǎn)在線段上,由

得.當(dāng)時,

當(dāng)時,

化簡均為.

綜上,.

(3)當(dāng)時,,

于是當(dāng)時,,此時.

當(dāng)時,

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號

綜上： 當(dāng)距點(diǎn)，距點(diǎn)時，最短，其長度為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時，求證在上是單調(diào)遞減函數(shù)；

（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，一智能掃地機(jī)器人在A處發(fā)現(xiàn)位于它正西方向的B處和北偏東方向上的C處分別有需要清掃的垃圾，紅外線感應(yīng)測量發(fā)現(xiàn)機(jī)器人到B的距離比到C的距離少0.4m，于是選擇沿路線清掃.已知智能掃地機(jī)器人的直線行走速度為0.2m/s,忽略機(jī)器人吸入垃圾及在B處旋轉(zhuǎn)所用時間，10秒鐘完成了清掃任務(wù).

（1）B、C兩處垃圾的距離是多少？（精確到0.1）

（2）智能掃地機(jī)器人此次清掃行走路線的夾角是多少？（用反三角函數(shù)表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，且側(cè)棱 其中為的交點(diǎn).

（1）求點(diǎn)到平面的距離；

（2）在線段上，是否存在一個點(diǎn)，使得直線與垂直？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于函數(shù)定義已知偶函數(shù)的定義域為當(dāng)且時，

（1）求并求出函數(shù)的解析式；

（2）若存在實數(shù)使得函數(shù)在上的值域為，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為130 m/min，山路AC長為1260 m，經(jīng)測量，cos A＝，cos C＝

（1）求索道AB的長；

（2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了配合今年上海迪斯尼游園工作，某單位設(shè)計了統(tǒng)計人數(shù)的數(shù)學(xué)模型：以表示第個時刻進(jìn)入園區(qū)的人數(shù)；以表示第個時刻離開園區(qū)的人數(shù).設(shè)定以分鐘為一個計算單位，上午點(diǎn)分作為第個計算人數(shù)單位，即；點(diǎn)分作為第個計算單位，即；依次類推，把一天內(nèi)從上午點(diǎn)到晚上點(diǎn)分分成個計算單位（最后結(jié)果四舍五入，精確到整數(shù)）.

（1）試計算當(dāng)天點(diǎn)至點(diǎn)這一小時內(nèi)，進(jìn)入園區(qū)的游客人數(shù)、離開園區(qū)的游客人數(shù)各為多少？

（2）假設(shè)當(dāng)日園區(qū)游客總?cè)藬?shù)達(dá)到或超過萬時，園區(qū)將采取限流措施.該單位借助該數(shù)學(xué)模型知曉當(dāng)天點(diǎn)（即）時，園區(qū)總?cè)藬?shù)會達(dá)到最高，請問當(dāng)日是否要采取限流措施？說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，其中，設(shè)．

（1）如果為奇函數(shù)，求實數(shù)、滿足的條件；

（2）在（1）的條件下，若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求的取值范圍；

（3）若對任意的恒有成立．證明：當(dāng)時，成立．

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同步練習(xí)冊答案