【題目】【2017四川宜賓二診】如甲圖所示,在矩形中, , , 的中點,將沿折起到位置,使平面平面,得到乙圖所示的四棱錐

求證: 平面;

(Ⅱ)求二面角的余弦值.

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ) .

【解析】試題分析:(Ⅰ)取中點,連,證得,又平面平面,證得平面,證明再利用線面的判定定理,即可證得平面

(Ⅱ)由題意,取中點,以為坐標(biāo)原點,分別以, 軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,由(Ⅰ)知: 是平面的法向量,設(shè)平面的法向量為,利用空間向量的夾角公式,即可求解結(jié)論.

試題解析:

(Ⅰ)如下圖,取中點,連,在中, , ,又平面平面 平面, 平面, ,即.在中,易得, , ,

,又,

平面

(Ⅱ)由題意,取中點,以為坐標(biāo)原點,分別以, 軸正方向建立間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,由(Ⅰ)知: 是平面的法向量,設(shè)平面的法向量為,則

,令,則, ,

,設(shè)二面角的平面角為

,

由圖可知,二面角的平面角為鈍角,

,即:二面角的余弦值為

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