Question

（2006•廣州二模）已知函數(shù)f(x)=

(x+1)4+(x-1)4

(x+1)4-(x-1)4

（x≠0）．
（Ⅰ）若f（x）=x且x∈R，則稱x為f（x）的實不動點，求f（x）的實不動點；
（Ⅱ）在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f(x)=

x4+6x2+1

4x3+4x

，且f（x）=x，知

x4+6x2+1

4x3+4x

=x⇒3x4-2x2-1=0⇒x2=1或x2=-

1

3

（舍去），由此能求出f（x）的實不動點．
（Ⅱ）由條件得an+1=

(an+1)4+(an-1)4

(an+1)4-(an-1)4

⇒

an+1+1

an+1-1

=

(an+1)4

(an-1)4

=(

an+1

an-1

)4，從而有ln

an+1+1

an+1-1

=4ln

an+1

an-1

，由ln

a1+1

a1-1

=ln3≠0，知數(shù)列{ln

an+1

an-1

}是首項為ln3，公比為4的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

x4+6x2+1

4x3+4x

，且f（x）=x，
∴

x4+6x2+1

4x3+4x

=x⇒3x4-2x2-1=0⇒x2=1或x2=-

1

3

（舍去），
所以x=1或-1，即f（x）的實不動點為x=1或x=-1．
（Ⅱ）由條件得an+1=

(an+1)4+(an-1)4

(an+1)4-(an-1)4

⇒

an+1+1

an+1-1

=

(an+1)4

(an-1)4

=(

an+1

an-1

)4，
從而有ln

an+1+1

an+1-1

=4ln

an+1

an-1

，
∵ln

a1+1

a1-1

=ln3≠0，
∴數(shù)列{ln

an+1

an-1

}是首項為ln3，公比為4的等比數(shù)列，
∴ln

an+1

an-1

=4n-1ln3⇒

an+1

an-1

=34n-1⇒an=

34n-1+1

34n-1-1

（n∈N^*）．

點評：本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，考查運算求解能力和推理論證能力．綜合性強，難度大，是高考的重點，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．