Question

【題目】如圖，四邊形為菱形，且，，，點在面上的投影恰在上，點為中點.

（1）求證：為線段的中點；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）過作于，連接，證明點為中點.又利用面，證得，結合條件，即可證明面，從而得到，證明是中位線，即可證明為線段的中點；

（2）建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，分別求出平面的一個法向量以及平面的一個法向量，再求出兩個法向量的夾角的余弦，通過觀察得二面角與兩法向量夾角相等，則可得結論..

（1）證明：過作于，連接，

由菱形，，及，

可知，為中點，

面，，

又，面，

面，，

又，，

由為中點，可知，為線段的中點；

（2）以所在直線為軸，以所在直線為軸，

過平行的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

，

設面的一個法向量，

，，

，取

設面的一個法向量，

，，

，取，

∴，

二面角的余弦值為.