圖1是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖,MN和PB是兩條面對(duì)角線(xiàn),請(qǐng)?jiān)趫D2的正方體中將MN和PB畫(huà)出來(lái),并就這個(gè)正方體解決下列問(wèn)題
(1) 求證:MN//平面PBD; (2)求證:AQ平面PBD;
(3)求二面角P-DB-M的余弦值。
(1)只需證MN//BD;(2)只需證,。(3)。
解析試題分析:畫(huà)出MN和PB如圖所示
(1) 證明:在正方體ABCD-PMQN中
MN//BD MN//平面PBD
(2)證明:在正方體ABCD-PMQN中
同理可證 :
(3)解: 建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1
則 A(1,0,0), Q(0,1,1) , C(0,1,0)
由知平面PBD的一個(gè)法向量是
平面MBD的一個(gè)法向量是
二面角P-DB-M的余弦值為 .
考點(diǎn):正方體的的平面展開(kāi)圖;線(xiàn)面平行的判定定理;線(xiàn)面垂直的判定定理;二面角。
點(diǎn)評(píng):綜合法求二面角,往往需要作出平面角,這是幾何中一大難點(diǎn),而用向量法求解二面角無(wú)需作出二面角的平面角,只需求出平面的法向量,經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算即可,從而體現(xiàn)了空間向量的巨大作用.二面角的向量求法: ①若AB、CD分別是二面的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱垂直的異面直線(xiàn),則二面角的大小就是向量與的夾角; ②設(shè)分別是二面角的兩個(gè)面α,β的法向量,則向量的夾角(或其補(bǔ)角)的大小就是二面角的平面角的大小。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2,.
(1)求該四棱柱的側(cè)面積與體積;
(2)若為線(xiàn)段的中點(diǎn),求與平面所成角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,圓錐中,為底面圓的兩條直徑 ,AB交CD于O,且,,為的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求圓錐的表面積;求圓錐的體積。
(3)求異面直線(xiàn)與所成角的正切值 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿(mǎn)分12分) 已知一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示,其中,且,分別為、、的中點(diǎn)
(1)求證:PB//平面EFG
(2)求直線(xiàn)PA與平面EFG所成角的大小
(3)在直線(xiàn)CD上是否存在一點(diǎn)Q,使二面角的大小為?若存在,求出CQ的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿(mǎn)分14分)如圖,四棱錐中,平面,四邊形是矩形,,分別是,的中點(diǎn).若,。
(1)求證:平面;
(2)求直線(xiàn)平面所成角的正弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿(mǎn)分12分)如圖4平面四邊形ABCD中,AB=AD=,BC=CD=BD,設(shè).
(1)將四邊形ABCD的面積S表示為的函數(shù);
(2)求四邊形ABCD面積S的最大值及此時(shí)值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本題滿(mǎn)分10分) 如圖,在平行四邊形中,,將沿折起到的位置,使平面平面.
(1)求二面角E-AB-D的大小;
(2)求四面體的表面積和體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿(mǎn)分14分)如圖,在長(zhǎng)方體中,,,點(diǎn)在棱上移動(dòng).
⑴ 證明://平面;
⑵證明:⊥;
⑶ 當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí),求四棱錐的體積.
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