(2013•韶關一模)設f(x)在區(qū)間I上有定義,若對?x1,x2∈I,都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
,則稱f(x)是區(qū)間I的向上凸函數(shù);若對?x1,x2∈I,都有f(
x1+x2
2
)≤
f(x1)+f(x2)
2
,則稱f(x)是區(qū)間I的向下凸函數(shù),有下列四個判斷:
①若f(x)是區(qū)間I的向上凸函數(shù),則-f(x)在區(qū)間I的向下凸函數(shù);
②若f(x)和g(x)都是區(qū)間I的向上凸函數(shù),則f(x)+g(x)是區(qū)間I的向上凸函數(shù);
③若f(x)在區(qū)間I的向下凸函數(shù),且f(x)≠0,則
1
f(x)
是區(qū)間I的向上凸函數(shù);
④若f(x)是區(qū)間I的向上凸函數(shù),?x1,x2,x3,x4∈I,則有f(
x1+x2+x3+x4
4
)≥
f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)
4

其中正確的結論個數(shù)是( 。
分析:對于①②④直接利用函數(shù)是“凸函數(shù)”的定義,通過放縮法證明即可;對于③利用舉反例的方法結合圖象法即可進行判斷.
解答:解:①若f(x)是區(qū)間I的向上凸函數(shù),則對?x1,x2∈I,都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
,
-f(
x1+x2
2
)≤
-f(x1)-f(x2)
2
,
∴-f(x)在區(qū)間I的向下凸函數(shù);正確.
②若f(x)和g(x)都是區(qū)間I的向上凸函數(shù),則對?x1,x2∈I,都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
,
g(
x1+x2
2
)≥
g(x1)+g(x2)
2
,兩式相加得f(
x1+x2
2
)+g(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
+
g(x1)+g(x2)
2

∴f(x)+g(x)是區(qū)間I的向上凸函數(shù);正確.
③若f(x)在區(qū)間I的向下凸函數(shù),且f(x)≠0,則
1
f(x)
不一定是區(qū)間I的向上凸函數(shù);
如f(x)=ex,
1
f(x)
=(
1
e
)x
,如圖,

它們都是向下凸函數(shù).故錯.
④若f(x)是區(qū)間I的向上凸函數(shù),
?x1,x2,x3,x4∈I,則有f(
x1+x2+x3+x4
4
)=f(
x1+x2
2
+
x3+x4
2
2
f(
x1+x2
2
)+f(
x3+x4
2
)
2

f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)
4
,故正確.
其中正確的結論個數(shù)是3.
故選C.
點評:本題考查命題的真假判斷與應用以及放縮法證明問題的步驟,新定義的應用,考查分析問題與解決問題的能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•韶關一模)在實驗員進行一項實驗中,先后要實施5個程序,其中程度A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步,程序C或D實施時必須相鄰,請問實驗順序的編排方法共有(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•韶關一模)如圖,三棱錐P-ABC中,PB⊥底面ABC于B,∠BCA=90°,PB=CA=2,點E是PC的中點.
(1)求證:側面PAC⊥平面PBC;
(2)若異面直線AE與PB所成的角為θ,且tanθ=
3
2
2
,求二面角C-AB-E的大。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•韶關一模)如果集合A={x|x2+ax+1=0}中只有一個元素,則a的值是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•韶關一模)(幾何證明選講選做題)
在直角坐標系xoy中,圓C1的參數(shù)方程為
x=cosα
y=1+sinα
(α為參數(shù))在極坐標系(與直角坐標系xoy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸的正半軸為極軸)中,圓C2的極坐標方程為ρ=4sinθ,則C1與C2的位置關系是
內切
內切
(在“相交,相離,內切,外切,內含”中選擇一個你認為正確的填上)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•韶關一模)某校為了解高二學生A,B兩個學科學習成績的合格情況是否有關,隨機抽取了該年級一次期末考試A,B兩個學科的合格人數(shù)與不合格人數(shù),得到以下2X2列聯(lián)表:
A學科合格人數(shù) A學科不合格人數(shù) 合計
B學科合格人數(shù) 40 20 60
B學科不合格人數(shù) 20 30 50
合計 60 50 110
(1)據(jù)此表格資料,你認為有多大把握認為“A學科合格”與“B學科合格”有關;
(2)從“A學科合格”的學生中任意抽取2人,記被抽取的2名學生中“B學科合格”的人數(shù)為X,求X的數(shù)學期望.
附公式與表:K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879

查看答案和解析>>

同步練習冊答案