Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)．

Ⅰ若函數(shù)在和上單調(diào)性相反，求的解析式；

Ⅱ若，不等式在上恒成立，求a的取值范圍；

Ⅲ已知，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，試確定實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

Ⅰ若函數(shù)在和上單調(diào)性相反，得到是對(duì)稱軸，進(jìn)行求解即可求的分析式；

Ⅱ利用參數(shù)分離法將不等式在上恒成立轉(zhuǎn)化為求最值問題即可，求a的取值范圍；

Ⅲ根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)和方程之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

Ⅰ由單調(diào)性知，函數(shù)為二次函數(shù)，

其對(duì)稱軸為，解得，

所求

Ⅱ依題意得，

即在上恒成立，

轉(zhuǎn)化為在上恒成立，

在上恒成立，

轉(zhuǎn)化為在上恒成立，

令，則轉(zhuǎn)化為在上恒成立

即，所以

Ⅲ，

設(shè)，，，

則原命題等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)與的圖象在區(qū)間內(nèi)有唯一交點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為減函數(shù)，，為增函數(shù)，

且，，函數(shù)在區(qū)間有唯一的交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，圖象開口向下，對(duì)稱軸為，

在內(nèi)為減函數(shù)，，為增函數(shù)，

且，

.

當(dāng)時(shí)，圖象開口向上，對(duì)稱軸為，

在內(nèi)為減函數(shù)，，為增函數(shù)，

則由，

.

綜上，所求a的取值范圍為