已知AB、CD是夾在兩個平行平面α、β之間的線段，M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，求證MN∥平面β．

答案：
解析：

　　證法1：(1)若AB、CD在同一平面內(nèi)，則平面ABCD與α、β的交線為AC、BD．

　　∵α∥β，∴AC∥BD．

　　又M、N為AB、CD的中點(diǎn)，∴MN∥BD．

　　又BD平面β，∴MN∥平面β

　　(2)若AB、CD不共面，如圖，過A作AQ∥CD交平面β于Q，取AQ中點(diǎn)P，連MP、PN、BQ、QD．

　　∵AQ∥CD，∴AQ、CD確定一個平面γ，

　　且γ∩α＝AC，γ∩β＝QD．

　　又α∥β，∴AC∥QD．

　　又P、N為AQ、CD中點(diǎn)，∴PN∥QD．

　　又M、P為AB、AQ中點(diǎn)，∴MP∥BQ．

　　∴平面MPN∥平面β，又MN平面MPN．

　　∴MN∥平面β．

　　證法2：(1)若AB、CD在同一平面內(nèi)，與證法1相同．

　　(2)若AB、CD不共面，如圖．

　　過M作直線EF∥CD，交α、β于E、F

　　∵AB∩EF＝M，∴AB、EF確定一個平面γ．

　　平面γ∩α＝AE，平面γ∩β＝BF．

　　∴AE∥BF．

　　又M為AB中點(diǎn)，∴M為EF的中點(diǎn)．

　　又EF∥CD，EF、CD確定平面與α、β的交線為EC、FD．

　　∴EFDC為平行四邊形．

　　又M、N分別為EF、CD的中點(diǎn)，

　　∴MN∥FD．

　　又FD平面β，∴MN∥平面β．


提示：

　　分析：要證線面平行，可先證線線平行或面面平行．

　　解題心得：本題證明過程體現(xiàn)了證線面平行的兩種基本方法，解題要防止把AB、CD看成同一平面內(nèi)的線段而直接用平面幾何知識證明的錯誤．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下面給出五個命題：
①已知平面α∥平面β，AB，CD是夾在α，β間的線段，若AB∥CD，則AB=CD；
②a，b是異面直線，b，c是異面直線，則a，c一定是異面直線；
③三棱錐的四個面可以都是直角三角形．
④平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，則PQ⊆α；
⑤三棱錐中若有兩組對棱互相垂直，則第三組對棱也一定互相垂直；
其中正確的命題編號是
①③④⑤
①③④⑤
（寫出所有正確命題的編號）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下面給出的幾個命題中：
①若平面α∥平面β，AB，CD是夾在α，β間的線段，若AB∥CD，則AB=CD；
②a，b是異面直線，b，c是異面直線，則a，c一定是異面直線；
③過空間任一點(diǎn)，可以做兩條直線和已知平面α垂直；
④平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，則PQ?α；
⑤若點(diǎn)P到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)P在該三角形所在平面內(nèi)的射影是該三角形的外心；
⑥a，b是兩條異面直線，P為空間一點(diǎn)，過P總可以作一個平面與a，b之一垂直，與另一個平行．
其中正確的命題是
①④⑤
①④⑤
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面α∥平面β，AB、CD是夾在平面α和平面β間的兩條線段，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，且
AE
EB
=
CF
FD
=
m
n
．求證：EF∥α∥β．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：學(xué)習(xí)高手必修二數(shù)學(xué)蘇教版 蘇教版 題型：047

已知AB、CD是夾在兩個平行平面α、β之間的線段，M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，求證：MN∥平面α．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案