已知平面α∥平面β，AB、CD是夾在平面α和平面β間的兩條線段，點E、F分別在AB、CD上，且
AE
EB
=
CF
FD
=
m
n
．求證：EF∥α∥β．
分析：若AB與CD共面，由平面與平面平行的性質可得 EF∥AC∥BD，故有EF∥α∥β．若AB與CD異面，過A作AA'∥CD，
在AA'截點O，使
AO
OA′
= 
AE
EB
=
CF
FD
=
m
n
，可證平面EOF∥α∥β，從而證得結論．
解答：證明：1°若AB與CD共面，設AB與CD確定平面γ，則α∩γ=AC，β∩γ=BD，
∵α∥β，∴AC∥BD，又∵
AE
EB
=
CF
FD
=
m
n
，∴EF∥AC∥BD，∴EF∥α∥β．
 2°若AB與CD異面，過A作AA'∥CD，
在AA'截點O，使
AO
OA′
= 
AE
EB
=
CF
FD
=
m
n
，∴EO∥BA'，OF∥A'D，
∴平面EOF∥α∥β，∴EF與α、β無公共點，∴EF∥α∥β．
點評：本題考查證明線面平行的方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，若AB與CD異面，過A作AA'∥CD，是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

16、如圖：已知平面α∥平面β，點A、B在平面α內，點C、D在β內，直線AB與CD是異面直線，點E、F、G、H分別是線段AC、BC、BD、AD的中點，求證：
（Ⅰ）E、F、G、H四點共面；
（Ⅱ）平面EFGH∥平面β．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設V是已知平面M上所有向量的集合，對于映射f：V→V，a∈V，記a的象為f（a）．若映射f：V→V滿足：對所有a、b∈V及任意實數(shù)λ，μ都有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），則f稱為平面M上的線性變換．下列命題中假命題是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列四個命題
①過平面外一定點有且只有一個平面與已知平面垂直；
②過空間一定點有且只有一條直線與已知平面垂直；
③過平面外一定直線有且只有一個平面與已知平面垂直；
④垂直于同一平面的兩個平面可能互相平行，也可能相交；
⑤垂直于同一條直線的兩個平面平行；
⑥平行于同一個平面的兩直線不是平行就是相交．
其中正確命題的序號為
②④⑤
②④⑤
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年湖南長沙重點中學高三上學期第四次月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

已知下列四個命題，其中真命題的序號是（    ）

① 若一條直線垂直于一個平面內無數(shù)條直線，則這條直線與這個平面垂直；

② 若一條直線平行于一個平面，則垂直于這條直線的直線必垂直于這個平面；

③ 若一條直線平行一個平面，另一條直線垂直這個平面，則這兩條直線垂直；

④ 若兩條直線垂直，則過其中一條直線有唯一一個平面與另外一條直線垂直；

A.①②        B.②③         C.②④         D.③④

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011---2012學年四川省高二10月考數(shù)學試卷 題型：解答題

如圖：已知平面//平面,點A、B在平面內，點C、D在內，直線AB與CD是異面直線，點E、F、G、H分別是線段AC、BC、BD、AD的中點，

求證：（Ⅰ）E、F、G、H四點共面；

（Ⅱ）平面EFGH//平面.

 

 

 

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