設過定點M（0，2）的直線l與橢圓
x24
+y2=1交于不同的兩點A、B．且∠AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍．．
分析：設出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，及∠AOB為銳角，建立不等式，即可求得直線l的斜率k的取值范圍．
解答：解：顯然直線x=0不滿足條件，可設直線l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）
直線代入橢圓方程，消去y可得（1+4k2）x2+16kx+12=0
∵△=（16k）2-4×12×（1+4k2）＞0，∴k＜-
3
2
或k＞
3
2

x1+x2=-
16k
1+4k2
，x1x2=
12
1+4k2

∴y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=
4-4k2
1+4k2

由于∠AOB為銳角，∴
OA
•
OB
＞0，即x1x2+y1y2＞0，∴
12
1+4k2
+
4-4k2
1+4k2
＞0
解得2＜k＜2
∴直線l的斜率的取值范圍是（-2，-
3
2
）∪（
3
2
，2）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C焦點在x軸上，其長軸長為4，離心率為
3
2
，
（1）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍；
（2）如圖，過原點O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）相交于P，S，R，Q四點，設原點O到四邊形PQSR一邊的距離為d，試求d=1時a，b滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)．
（1）若橢圓的長軸長為4，離心率為
3
2
，求橢圓的標準方程；
（2）在（1）的條件下，設過定點M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設F1、F2分別是橢圓
x2
4
+y2=1的左、右焦點．
（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個動點，求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值；
（Ⅱ）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設F1、F2分別是橢圓
x2
4
+y2=1的左、右焦點．
（1）求橢圓
x2
4
+y2=1的焦點坐標、離心率及準線方程；
（2）若P是該橢圓上的一個動點，求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值；
（3）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

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