Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓

x2

4

+y2=1的左、右焦點(diǎn)．
（1）求橢圓

x2

4

+y2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率及準(zhǔn)線方程；
（2）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（3）設(shè)過定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由e=

c

a

可知，要求離心率，只要根據(jù)方程求出a，b，結(jié)合c²=a²-b²可求c，從而可求e，進(jìn)而可求橢圓的準(zhǔn)線方程x=±

a2

c

（2）解法一：設(shè)P（x，y），則

PF1

•

PF2

=(-

3

-x，-y)•(

3

-x，-y)=x²+y²-3=

3x2-8

4

，由x∈[-2，2]，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求最值
解法二：（2）設(shè)P（x，y），則，

PF1

•

PF2

=|

PF1

|•|

PF2

|•cos∠F1PF2=|

PF1

||

PF2

|•

| PF1 |2+| PF2 |2-| F1F2 |2

2| PF1 | | PF2 |

=x²+y²-3（以下同解法一）．
（3）顯然直線x=0不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直l：y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求x₁+x₂，x₁x₂，由△＞0可求k的范圍，由0°＜∠AOB＜90°可得

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂＞0，代入可求k的范圍

解答：解：（1）易知a=2，b=1，c=

3

∴F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)
∴離心率e=

3

2

，橢圓的準(zhǔn)線方程為x=±

4 3

3

（2）解法一：設(shè)P（x，y），則

PF1

•

PF2

=(-

3

-x，-y)•(

3

-x，-y)=x²+y²-3
=x2+1-

x2

4

-3
=

3x2-8

4

因?yàn)閤∈[-2，2]
故當(dāng)x=0，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，

PF1

•

PF2

有最小值-2；
當(dāng)x=±2，即點(diǎn)P為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)，，

PF1

•

PF2

有最大值1．
解法二：
（2）易知a=2，b=1，c=

3

∴F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)
設(shè)P（x，y），則，

PF1

•

PF2

=|

PF1

|•|

PF2

|•cos∠F1PF2
=|

PF1

||

PF2

|•

| PF1 |2+| PF2 |2-| F1F2 |2

2| PF1 | | PF2 |

=

1

2

[(x+

3

)2+y2+(x-

3

)2+y2-12]
=x²+y²-3
（以下同解法一）．
（3）顯然直線x=0不滿足題設(shè)條件．
可設(shè)直l：y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立

y=kx-2 x2 4 +y2=1

，消去y，整理得：(k2+

1

4

)x2 +4kx+3=0
∴x1+x2=-

4k

k2+ 1 4

，x1x2=

-3

k2+ 1 4

由△=(4k)2-4(k 2+ 

1

4

)×3=4k²-3＞0得：k＜

- 3

2

或k＞

3

2

①
又∵0°＜∠AOB＜90°
∴cos∠AOB＞0
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂＞0
又∵y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=

3k2

k2+ 1 4

+

-8k2

k2+ 1 4

=

1-k2

k2+ 1 4

∵

3

k2+ 1 4

+

1-k2

k2+ 1 4

＞0，即k²＜4，
∴-2＜k＜2②
故由①②得-2＜k＜-

3

2

，或

3

2

＜k＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系及向量的夾角與數(shù)量積的關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，屬于綜合性試題