Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓

x2

4

+y2=1的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（Ⅱ）設(shè)過定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）橢圓

x2

4

+y2=1中，a=2，b=1，c=

3

，F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，設(shè)p（x，y），則

PF1

•

PF2

=(-

3

-x，-y)•(

3

-x，-y）=x²+y²-3，由x∈[-2，2]，能求出

PF1

•

PF2

的最大值和最小值．
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立

y=kx+2 x2 4 +y2=1

，得(k2+

1

4

)x2+4kx+3=0，由△=(4k)2-4(k2+

1

4

)×3=4k²-3＞0，能求出直線l的斜率k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）橢圓

x2

4

+y2=1中，a=2，b=1，c=

3

，
∴F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，
設(shè)p（x，y），則

PF1

•

PF2

=(-

3

-x，-y)•(

3

-x，-y）=x²+y²-3，
∵x∈[-2，2]，∴當(dāng)x=0，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，

PF1

•

PF2

有最小值-2．
當(dāng)x=±2，即點(diǎn)P為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)，

PF1

•

PF2

有最大值1．
（Ⅱ）∵直線x=0不滿足題設(shè)條件，
∴設(shè)直線l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=kx+2 x2 4 +y2=1

，消去y，得(k2+

1

4

)x2+4kx+3=0，
∵過定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，
∴△=(4k)2-4(k2+

1

4

)×3=4k²-3＞0，
解得k＞

3

2

，或k＜-

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，具體涉及到橢圓的簡單性質(zhì)、韋達(dá)定理、根與系數(shù)的關(guān)系等基本知識點(diǎn)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．