Question

7．已知函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）．
（1）a=$\frac{1}{2}$時(shí)，求f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）存在兩個(gè)不同的極值x₁，x₂，求a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，求f（x）在（0，a]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=lnx-2ax+1，由此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能出過(guò)點(diǎn)（1，f（1））的切線方程．
（2）令g（x）=f′（x）=lnx-2ax+1，則${g}^{'}（x）=\frac{1-2ax}{x}$，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)及分類討論思想能求出a的取值范圍．
（3）0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，f（x）在（0，x₁）上遞減，在（x₁，x₂）上遞增，在（x₂，+∞）上遞減，令h（x）=lnx+1-2x²，（0＜x＜1），${h}^{'}（x）=\frac{1-4{x}^{2}}{x}$，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的最小值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x（lnx-ax），
∴f′（x）=lnx-2ax+1，…（1分）
當(dāng)a=$\frac{1}{2}$ 時(shí)，f′（1）=0，且f（1）=-$\frac{1}{2}$，
∴過(guò)點(diǎn)（1，f（1））的切線方程為y=-$\frac{1}{2}$．…4 分 
（2）令g（x）=f′（x）=lnx-2ax+1，則${g}^{'}（x）=\frac{1-2ax}{x}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
g（x）與X軸只有一個(gè)交點(diǎn)即f（x）只有一個(gè)極值點(diǎn)，不合題意．…（5分）
當(dāng)a＞0時(shí)，x∈（0，$\frac{1}{2a}$）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（0，$\frac{1}{2a}$）上遞增，
x∈（$\frac{1}{2a}，+∞$）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（$\frac{1}{2a}，+∞$）上遞減，
只需g（$\frac{1}{2a}$）=ln$\frac{1}{2a}$＞0，即0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)
故0＜a＜$\frac{1}{2}$．…（8分）
（3）由（2）知 0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，
f（x）在（0，x₁）上遞減，在（x₁，x₂）上遞增，在（x₂，+∞）上遞減，
又f′（1）=1-2a＞0，則0＜x₁＜1，且lnx₁-2ax₁+1=0，
解得a=$\frac{ln{x}_{1}+1}{2{x}_{1}}$，此時(shí)a-x₁=$\frac{ln{x}_{1}+1-2{{x}_{1}}^{2}}{2{x}_{1}}$，…（10分）
令h（x）=lnx+1-2x²，（0＜x＜1），${h}^{'}（x）=\frac{1-4{x}^{2}}{x}$，
從而h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上遞增，（$\frac{1}{2}$，1）上遞減，
故h（x）≤h（$\frac{1}{2}$）=ln$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}＜0$，
所以a＜x₁，又f（x）在（0，x₁）上遞減，
從而f（x）的最小值為f（a）=a（lna-a²）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查函數(shù)的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．