Question

18．若向量$\overrightarrow a=（cos\frac{3}{2}x，sin\frac{3}{2}x）$，$\overrightarrow b=（cos\frac{x}{2}，-sin\frac{x}{2}）$，且$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$．
（Ⅰ）求$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$；
（Ⅱ）若$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$，求函數(shù)f（x）關(guān)于x的解析式和值域；
（Ⅲ）設(shè)t=2f（x）+a的值域為D，且函數(shù)$g（t）=\frac{1}{2}{t^2}+t-2$在D上的最小值為2，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)向量的坐標運算和向量的模，以及三角函數(shù)的化簡即可得到結(jié)論，
（Ⅱ）根據(jù)向量的數(shù)量積的運算得到以及余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出，
（Ⅲ）先求出D=[a，a+2]，再分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出．

解答 解：（Ⅰ）：$\overrightarrow a+\overrightarrow b=（cos\frac{3}{2}x+cos\frac{x}{2}，sin\frac{3}{2}x-sin\frac{x}{2}）$，
$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|=\sqrt{{{（cos\frac{3}{2}x+cos\frac{x}{2}）}^2}+{{（sin\frac{3}{2}x-sin\frac{x}{2}）}^2}}$=$\sqrt{2+2（cos\frac{3}{2}x•cos\frac{x}{2}-sin\frac{3}{2}x•sin\frac{x}{2}）}$
=$\sqrt{2（1+cos2x）}=\sqrt{2×2co{s^2}x}=2cosx$，
（由$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$知cosx＞0）．
（Ⅱ） $f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=cos\frac{3}{2}x•cos\frac{x}{2}-sin\frac{3}{2}x•sin\frac{x}{2}=cos2x$．
由題意，$2x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，
從而cos2x∈[0，1]，
即f（x）的值域為[0，1]．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得D=[a，a+2]
可以求出$g（t）=\frac{1}{2}{t^2}+t-2=\frac{1}{2}{（t+1）^2}-\frac{5}{2}$可知其對稱軸為t=-1．
下面分情況討論：
①當(dāng)a≤-1≤a+2時，即-3≤a≤-1時，$g{（t）_{min}}=g（-1）=-\frac{5}{2}$，不成立；
②當(dāng)a+2＜-1時，即a＜-3時，$g{（t）_{min}}=g（a+2）=\frac{1}{2}{a^2}+3a+2$．
由$\frac{1}{2}{a^2}+3a+2=2$，得a=-6 （a=0舍去）．
③當(dāng)a＞-1時，$g{（t）_{min}}=g（a）=\frac{1}{2}{a^2}+a-2=2$，
解得a=2 （a=-4舍去），
綜上知，a=-6或a=2．

點評 本題考查了向量的運算和三角函數(shù)的化簡以及余弦函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論的思想，屬于中檔題．