Question

【題目】如圖所示，四面體ABCD中，已知平面BCD⊥平面ABC，BD⊥DC，BC=6，AB=4 ，∠ABC=30°．
（I）求證：AC⊥BD；
（II）若二面角B﹣AC﹣D為45°，求直線AB與平面ACD所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：證明：△ABC中，由余弦定理得AC2=36+48﹣2× =12， ∴ ，∴AC2+BC2=AB2 ， ∴AC⊥BC．
又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，AC平面ABC，
∵AC⊥平面BCD．又∵BD平面BCD，
∴AC⊥BD．
（II）解：∵AC⊥平面BCD，CD平面BCD，
∴AC⊥CD．又∵BC⊥AC，
∴∠BCD是平面DAC與平面BAC所成的二面角的平面角，即∠BCD=45°．
∵BD⊥CD，AC⊥BD，CD平面ACD，AC平面ACD，CD∩AC=C，
∴BD⊥平面ACD．
∴∠BAD是AB與平面ACD所成的角．
Rt△ACD中， ，
∴ ．
即求直線AB與平面ACE所成的角的正弦值為 ．

【解析】（I）利用余弦定理計算AC，得出AC⊥BC，再利用面面垂直的性質得出AC⊥平面BCD，從而有AC⊥BD；（II）證明BD⊥平面ACD，于是∠BAD為所求角，先計算BD，在Rt△ABD中計算sin∠BAD．