Question

6．設(shè)g（x）=e^x，f（x）=g[λx+（1-λ）a]-λg（x），其中a，λ是常數(shù)，且0＜λ＜1．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）證明：對(duì)任意正數(shù)a，存在正數(shù)x，使不等式|$\frac{{e}^{x}-1}{x}-1$|＜a成立．

Answer 1

分析 （1）首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)等于0，解出x的值，分兩種情況討論：當(dāng)f′（x）＞0，當(dāng)f′（x）＜0，做出函數(shù)的極值點(diǎn)，求出極值．
（2）將原不等式化為 $\frac{{e}^{x}-x-1}{x}$＜a，即e^x-（1+a）x-1＜0，令g（x）=e^x-（1+a）x-1，利用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的極值，從而得出存在正數(shù)x=ln（a+1），使原不等式成立．

解答 解：（1）∵f′（x）=λg[λx+（1-λ）a]-λg′（x），-----------------（1分）
由f′（x）＞0得，g[λx+（1-λ）a]＞g′（x），
∴λx+（1-λ）a＞x，即（1-λ）（x-a）＜0，解得x＜a，-----------------（3分）
故當(dāng)x＜a時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞a時(shí)，f′（x）＜0；
∴當(dāng)x=a時(shí)，f（x）取極大值f（a）=（1-λ）e^a，但f（x）沒(méi)有極小值．-----------------（4分）
（2）∵|$\frac{{e}^{x}-1}{x}$-1|=|$\frac{{e}^{x}-x-1}{x}$|，
又當(dāng)x＞0時(shí)，令h（x）=e^x-x-1，則h′（x）=e^x-1＞0，
故h（x）＞h（0）=0，
因此原不等式化為 $\frac{{e}^{x}-x-1}{x}$＜a，即e^x-（1+a）x-1＜0，-----------------（6分）
令g（x）=e^x-（1+a）x-1，則g′（x）=e^x-（1+a），
由g′（x）=0得：e^x=（1+a），解得x=ln（a+1），
當(dāng)0＜x＜ln（a+1）時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x＞ln（a+1）時(shí)，g′（x）＞0．
故當(dāng)x=ln（a+1）時(shí)，g（x）取最小值g[ln（a+1）]=a-（1+a）ln（a+1），---------------（8分）
令s（a）=$\frac{a}{1+a}$-ln（1+a），則s′（a）=-$\frac{a}{{（1+a）}^{2}}$＜0．
故s（a）＜s（0）=0，即g[ln（a+1）]=a-（1+a）ln（a+1）＜0．
因此，存在正數(shù)x=ln（a+1），使原不等式成立．-----------------（10分）

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用及應(yīng)用所學(xué)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)、思想和方法解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．