如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等邊三角形，D是BC的中點．

(1)求證：A1B∥平面ADC1；
(2)若AB＝BB1＝2，求A1D與平面AC1D所成角的正弦值．
（1）見解析（2）
(1)證明:因為三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以四邊形A1ACC1是矩形．連接A1C交AC1于O，則O是A1C的中點，又D是BC的中點，所以在△ADC1中，OD∥A1B，因為A1B?平面ADC1，OD?平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.
(2)解:因為△ABC是等邊三角形，D是BC的中點，所以AD⊥BC.以D為原點，建立如圖所示空間坐標系D-xyz.由已知AB＝BB1＝2，得D(0,0,0)，A(，0,0)，A1(，0,2)，C1(0，－1,2)．

則＝(，0,0)，＝(0，－1，2)，設平面AC1D的法向量為n＝(x，y，z)，由得
取z＝1，則x＝0，y＝2，
∴n＝(0,2,1)，又＝(，0,2)，∴cos〈，n〉＝＝，設A1D與平面ADC1所成角為θ，
則sin θ＝|cos〈，n〉|＝，
故A1D與平面ADC1所成角的正弦值為.
練習冊系列答案
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