正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為4,D為的中點(diǎn).

(1)求證:⊥平面；
(2)求二面角余弦值.
(1)詳見(jiàn)解析；（2）.

試題分析：(1)先根據(jù)題意找到BC中點(diǎn)O，證明，平面，從而以O(shè)為原點(diǎn)構(gòu)造出空間直角坐標(biāo)系.在寫出平面中相關(guān)向量坐標(biāo)以及的坐標(biāo)，由向量的數(shù)量積為0證明線線垂直，從而得到⊥平面；（2）先求出平面的法向量，又由上問(wèn)可知平面的法向量即，再通過(guò)向量的夾角公式得到這兩個(gè)法向量的夾角余弦值，經(jīng)觀察可知即為二面角余弦值.從而得到本題的解.
試題解析：（1）取BC中點(diǎn)O,連AO,
∵為正三角形, ∴,
∵在正三棱柱中,平面ABC平面,∴平面,
取中點(diǎn)為,以O(shè)為原點(diǎn),,,的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024245705328.png" style="vertical-align:middle;" />,軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,

則.
∴,
∵,.
∴,,∴面   
(2)設(shè)平面的法向量為,.
,∴,∴,,令,得為平面的一個(gè)法向量,由(1)知面,
∴為平面的法向量,,
經(jīng)檢驗(yàn)易知二面角的余弦值為.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)．

(1)求證：A1B∥平面ADC1；
(2)若AB＝BB1＝2，求A1D與平面AC1D所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，,底面, ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：直線平面；
（Ⅱ）求異面直線與所成角的大小；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在多面體ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AE＝1，CD與平面ABDE所成角的正弦值為．

（Ⅰ）若F是線段CD的中點(diǎn)，證明：EF⊥面DBC;
（Ⅱ）求二面角D－EC－B的平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在直棱柱

（I）證明：；
（II）求直線所成角的正弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知向量
v1
，
v2
，
v3
分別是空間三條不同直線l1，l2，l3的方向向量，則下列命題中正確的是（　　）
A．l1⊥l2，l2⊥
l3
⇒
v1
=λ
v3
(λ∈R)
B．l1⊥l2，l2∥
l3
⇒
v1
=λ
v3
(λ∈R)
C．l1，l2，l3平行于同一個(gè)平面⇒?λ，μ∈R，使得
v1
=λ
v2
+μ
v3
D．l1，l2，l3共點(diǎn)⇒?λ，μ∈R，使得
v1
=λ
v2
+μ
v3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)A（-2，3），B（3，-2），沿軸把直角坐標(biāo)平面折成大小為的二面角后，這時(shí)則的大小為　　　　　．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD中，為正三角形，，，AC與BD交于O點(diǎn)．將沿邊AC折起，使D點(diǎn)至P點(diǎn)，已知PO與平面ABCD所成的角為，且P點(diǎn)在平面ABCD內(nèi)的射影落在內(nèi)．

（Ⅰ）求證：平面PBD；
（Ⅱ）若時(shí)，求二面角的余弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
如圖，在底面為直角梯形的四棱錐中，平面，，，．

⑴求證：；
⑵求直線與平面所成的角；
⑶設(shè)點(diǎn)在棱上，，若∥平面，求的值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案