Question

如圖，已知四棱錐E-ABCD的底面為菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，AE＝BE＝.

(1)求證：平面EAB⊥平面ABCD；
(2)求直線AE與平面CDE所成角的正弦值．

Answer 1

（1）見解析（2）

(1)證明　取AB的中點O，連接EO，CO，∵AE＝EB＝，AB＝2，∴△AEB為等腰直角三角形，∴EO⊥AB，EO＝1，又∵AB＝BC，∠ABC＝60°.
∴△ACB是等邊三角形，∴CO＝，又EC＝2，∴EC²＝EO²＋CO²，∴EO⊥CO.
又∵CO∩AB＝O，∴EO⊥平面ABCD，又EO?平面EAB，∴平面EAB⊥平面ABCD.
(2)解　以AB中點O為坐標(biāo)原點，分別以OC，OB，OE所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0，－1,0)，C(，0,0)，D，E(0,0,1)．
∴＝(，0，－1)，＝(0,2,0)，＝(0,1,1)．
設(shè)平面CDE的法向量n＝(x，y，z)，
令z＝1，解得
∴平面CDE的一個法向量n＝，設(shè)直線AE與平面CDE所成角為θ.
∴sin θ＝＝＝.
∴直線AE與平面CDE所成角的正弦值是.