Question

【題目】已知函數，函數.

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若函數有且只有一個零點，求實數的取值范圍；

（3）若函數對恒成立，求實數的取值范圍.(是自然對數的底數，)

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）代入a值，求函數的導數，由導數的幾何意義求得切線斜率，根據點斜式可得切線方程；（2）求導數，通過討論a的范圍，求函數單調區(qū)間，結合函數單調性和函數的最值可求a的范圍；（3）求g（x）解析式，求函數導數，討論函數單調性，由函數單調性和最值可確定a的范圍．

（1）當時，，則，所以，

所以切線方程為.

（2），

①當時，恒成立，所以單調遞增，

因為，所以有唯一零點，即符合題意；

②當時，令，解得，列表如下：

	-	0	+
		極小值

由表可知，.

（i）當，即時，，所以符合題意；

（ii）當，即時，，

因為，且，所以，

故存在，使得，所以不符題意；

（iii）當，即時，，

因為，

設，

則，

所以單調遞增，即，所以，

又因為，所以，

故存在，使得，所以不符題意；

綜上，的取值范圍為.

（3），則，

①當時，恒成立，所以單調遞增，

所以，即符合題意；

②當時，恒成立，所以單調遞增，

又因為

，

所以存在，使得，

且當時，，即在上單調遞減，

所以，即不符題意；

綜上，的取值范圍為.