已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx（a，b為常數(shù)，且a≠0）滿(mǎn)足條件：f(x-1)=f(3-x)且方程f(x)=2x有等根.

（1）求f(x)的解析式；

（2）是否存在實(shí)數(shù)m,n(m＜n)，使f(x)的定義域和值域分別為［m,n］和［4m,4n］，如果存在，求出m的值；如果不存在，說(shuō)明理由.

解析：利用等根可得判別式Δ=0即可得到b的值，同時(shí)根據(jù)f(x-1)=f(3-x)知此函數(shù)圖ax2+bx-2x=0象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=-=1，得a的值.

解：(1)∵方程有等根，Δ=(b-2)2=0，得b=2.

由f(x-1)=f(3-x)知此函數(shù)圖ax2+bx-2x=0象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=-=1，得a=-1，故f(x)=-x2+2x.

(2)∵f(x)=-(x-1)2+1≤1，

∴4n≤1，即n≤.而拋物線y=-x2+2x的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，

∴當(dāng)n≤時(shí)，f(x)在［m,n］上為增函數(shù)．

若滿(mǎn)足題設(shè)條件的m,n存在，則

即

又m＜n≤，

∴m=-2,n=0,

這時(shí)，定義域?yàn)椋?2,0］，值域?yàn)椋?8,0］.由以上知滿(mǎn)足條件的m,n存在, m=-2,n=0.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+
1
2
滿(mǎn)足f（1+x）=f（1-x）且方程f(x)=
5
2
-x有等根
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）若f（x）在定義域（-1，t]上的值域?yàn)椋?1，1]，求t的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m、n（m＜n），使f（x）定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，若存在，求出m、n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，函數(shù)y=f(x)+
2
3
x-1的圖象過(guò)原點(diǎn)且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，記函數(shù) h(x)=
x
f(x)．
（I）求b，c的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=
1
10
時(shí)，求函數(shù)y=h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）試討論函數(shù) y=h（x）的圖象上垂直于y軸的切線的存在情況．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

（1）f（x）為偶函數(shù)，試判斷g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有兩個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng)a＞0時(shí)判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）若方程g（x）=x的兩實(shí)根為x1，x2f（x）=0的兩根為x3，x4，求使x3＜x1＜x2＜x4成立的a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=
-x2-x+2
的定義域?yàn)锳，若對(duì)任意的x∈A，不等式x2-4x+k≥0成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

（1）f（x）為偶函數(shù)，試判斷g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有兩個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng)a＞0時(shí)判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）當(dāng)b=2a時(shí)，問(wèn)是否存在x的值，使?jié)M足-1≤a≤1且a≠0的任意實(shí)數(shù)a，不等式f（x）＜4恒成立？并說(shuō)明理由．

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