【題目】如圖,直三棱柱中,,,,P為的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)設(shè)E為BC的中點(diǎn),線段上是否存在一點(diǎn)Q,使得平面?若存在,求四棱錐的體積;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)存在,
【解析】
(1)設(shè)交于點(diǎn)O,要證明平面,只需證明,即可;
(2)利用線面平行的判定定理可得當(dāng)Q為中點(diǎn),即點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合時,∥平面,,只需求出即可.
(1)證明:在中,
∵,,,
∴,
又直三梭柱中,,則為正方形,
設(shè)交于點(diǎn)O,則O為的中點(diǎn),且.
連接PA,,PO,
∵側(cè)棱底面ABC,P為的中點(diǎn),則
,
,
故.
∴,
∵,且PO,平面,
∴平面.
(2)當(dāng)Q為中點(diǎn),即點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合時,∥平面.
理出如下:
連接,∵E為BC的中點(diǎn),∴則∥
∵平面,平面,
∴∥平面.
此時,Q到平面的距離等于B到平面的距離的一半,
又,,,所以平面,
所以,
∴.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)當(dāng)時,證明:;
(2)設(shè)函數(shù),當(dāng)時,證明:;
(3)若數(shù)列滿足:,,.證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在中,,,為的中點(diǎn),將沿折起,得到如圖2所示的三棱錐,二面角為直二面角.
(1)求證:平面平面;
(2)設(shè)分別為的中點(diǎn),求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度,從甲、乙兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了100個用戶,根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分,分別得到甲地區(qū)和乙地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖.
若甲地區(qū)和乙地區(qū)用戶滿意度評分的中位數(shù)分別為m1,m2;平均數(shù)分別為s1,s2,則下面正確的是( )
A. m1>m2,s1>s2B. m1>m2,s1<s2
C. m1<m2,s1<s2D. m1<m2,s1>s2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市教學(xué)研究室為了對今后所出試題的難度有更好的把握,提高命題質(zhì)量,對該市高三理科數(shù)學(xué)試卷的得分情況進(jìn)行了調(diào)研.從全市參加考試的理科考生中隨機(jī)抽取了100名考生的數(shù)學(xué)成績(滿分150分),將數(shù)據(jù)分成9組:,,,,,,,,,并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.用統(tǒng)計的方法得到樣本標(biāo)準(zhǔn)差,以頻率值作為概率估計值.
(Ⅰ)根據(jù)頻率分布直方圖,求抽取的100名理科考生數(shù)學(xué)成績的平均分及眾數(shù);
(Ⅱ)用頻率估計概率,從該市所有高三理科考生的數(shù)學(xué)成績中隨機(jī)抽取3個,記理科數(shù)學(xué)成績位于區(qū)間內(nèi)的個數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)從該市高三理科數(shù)學(xué)考試成績中任意抽取一份,記其成績?yōu)?/span>,依據(jù)以下不等式評判(表示對應(yīng)事件的概率):
①,②,
③,其中.
評判規(guī)則:若至少滿足以上兩個不等式,則給予這套試卷好評,否則差評.試問:這套試卷得到好評還是差評?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,直線與拋物線交于兩點(diǎn).
(1)若過點(diǎn),且,求的斜率;
(2)若,且的斜率為,當(dāng)時,求在軸上的截距的取值范圍(用表示),并證明的平分線始終與軸平行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市的公交公司為了方便市民出行,科學(xué)規(guī)劃車輛投放,在一個人員密集流動地段增設(shè)一個起點(diǎn)站,為了研究車輛發(fā)車間隔時間與乘客等候人數(shù)之間的關(guān)系,經(jīng)過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù):
間隔時間(分鐘) | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
等侯人數(shù)(人) | 23 | 25 | 26 | 29 | 28 | 31 |
調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗.檢驗方法如下:先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應(yīng)的等候人數(shù),再求與實際等候人數(shù)的差,若差值的絕對值不超過1,則稱所求方程是“恰當(dāng)回歸方程”.
(1)若選取的是后面4組數(shù)據(jù),求關(guān)于的線性回歸方程,并判斷此方程是否是“恰當(dāng)回歸方程”;
(2)為了使等候的乘客不超過35人,試用(1)中方程估計間隔時間最多可以設(shè)置為多少(精確到整數(shù))分鐘?
附:對于一組數(shù)據(jù),,……,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,的頂點(diǎn),,且、、成等差數(shù)列.
(1)求的頂點(diǎn)的軌跡方程;
(2)直線與頂點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn),當(dāng)線段的中點(diǎn)落在直線上時,試問:線段的垂直平分線是否恒過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一塊以點(diǎn)為圓心,半徑為百米的圓形草坪,草坪內(nèi)距離點(diǎn)百米的點(diǎn)有一用于灌溉的水籠頭,現(xiàn)準(zhǔn)備過點(diǎn)修一條筆直小路交草坪圓周于兩點(diǎn),為了方便居民散步,同時修建小路,其中小路的寬度忽略不計.
(1)若要使修建的小路的費(fèi)用最省,試求小路的最短長度;
(2)若要在區(qū)域內(nèi)(含邊界)規(guī)劃出一塊圓形的場地用于老年人跳廣場舞,試求這塊圓形廣場的最大面積.(結(jié)果保留根號和)
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