【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,的頂點(diǎn),,且、、成等差數(shù)列.
(1)求的頂點(diǎn)的軌跡方程;
(2)直線與頂點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn),當(dāng)線段的中點(diǎn)落在直線上時(shí),試問:線段的垂直平分線是否恒過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)(2)恒過定點(diǎn);定點(diǎn)
【解析】
(1)由正弦定理,結(jié)合橢圓定義,即可容易求得軌跡方程;
(2)聯(lián)立直線方程和橢圓方程,由韋達(dá)定理求得中點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)其縱坐標(biāo)為,即可求得的等量關(guān)系,再求出直線垂直平分線的方程,再求直線恒過的定點(diǎn)即可.
(1)在中,,
根據(jù)正弦定理,可得,且,
由橢圓定義,可知頂點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn),
以為焦點(diǎn)的橢圓(不包括與軸交點(diǎn)).
,,,
軌跡方程為.
(2)設(shè),,
由,得,
,
,,
點(diǎn)落在直線上,
,,
,,
線段的垂直平分線方程為,即,
線段的垂直平分線恒過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某籃球隊(duì)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員練習(xí)罰球,每人練習(xí)10組,每組罰球40個(gè).命中個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖,則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的一個(gè)是( )
A. 甲的極差是29 B. 甲的中位數(shù)是24
C. 甲罰球命中率比乙高 D. 乙的眾數(shù)是21
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱中,,,,P為的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)設(shè)E為BC的中點(diǎn),線段上是否存在一點(diǎn)Q,使得平面?若存在,求四棱錐的體積;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在寬為的路邊安裝路燈,燈柱高為,燈桿是半徑為的圓的一段劣。窡舨捎缅F形燈罩,燈罩頂到路面的距離為,到燈柱所在直線的距離為.設(shè)為燈罩軸線與路面的交點(diǎn),圓心在線段上.
(1)當(dāng)為何值時(shí),點(diǎn)恰好在路面中線上?
(2)記圓心在路面上的射影為,且在線段上,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】足球比賽中,一隊(duì)在本方罰球區(qū)內(nèi)犯規(guī),會(huì)被判罰點(diǎn)球,點(diǎn)球是進(jìn)攻方非常有效的得分手段.研究機(jī)構(gòu)對(duì)某位足球隊(duì)員的1000次點(diǎn)球訓(xùn)練進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析,以幫助球員提高點(diǎn)球的命中率.如圖,將球門框內(nèi)的區(qū)域分成9個(gè)區(qū)域(區(qū)域代碼為1—9,球門框外的區(qū)域記做區(qū)域0),統(tǒng)計(jì)球員射點(diǎn)球時(shí)射中10個(gè)區(qū)域次數(shù)和進(jìn)球次數(shù)(即使射中球門框內(nèi),也可能被守門員撲出),得到如下的兩個(gè)頻率分布條形圖:
(其中射中率,得分率)
(1)根據(jù)上述頻率分布條形圖,求射中球門框內(nèi)時(shí),各區(qū)域進(jìn)球數(shù)的平均數(shù)(結(jié)果保留兩位小數(shù))和中位數(shù);
(2)以該隊(duì)員這1000次點(diǎn)球練習(xí)的進(jìn)球頻率作為他在比賽中射點(diǎn)球時(shí)進(jìn)球的概率,設(shè)他在三次射點(diǎn)球時(shí)進(jìn)球數(shù)為,求的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中, 平面平面,.
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值;
(3)在棱上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在, 求的值;若不存在, 說明理由.
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【題目】2020年3月,國內(nèi)新冠肺炎疫情得到有效控制,人們開始走出家門享受春光.某旅游景點(diǎn)為吸引游客,推出團(tuán)體購票優(yōu)惠方案如下表:
購票人數(shù) | 1~50 | 51~100 | 100以上 |
門票價(jià)格 | 13元/人 | 11元/人 | 9元/人 |
兩個(gè)旅游團(tuán)隊(duì)計(jì)劃游覽該景點(diǎn).若分別購票,則共需支付門票費(fèi)1290元;若合并成個(gè)團(tuán)隊(duì)購票,則需支付門票費(fèi)990元,那么這兩個(gè)旅游團(tuán)隊(duì)的人數(shù)之差為( )
A.20B.30C.35D.40
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【題目】某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動(dòng),活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期,由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大,吸引越來越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交車隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次,用表示活動(dòng)推出的天數(shù),表示每天使用掃碼支付的人次(單位:十人次),統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1所示:
表1:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
6 | 11 | 21 | 34 | 66 | 101 | 196 |
根據(jù)以上數(shù)據(jù),繪制了散點(diǎn)圖.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,在推廣期內(nèi),與(均為大于零的常數(shù))哪一個(gè)適宜作為掃碼支付的人次關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由).
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表1中的數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程,并預(yù)測活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次.
(3)推廣期結(jié)束后,為更好的服務(wù)乘客,車隊(duì)隨機(jī)調(diào)查了100人次的乘車支付方式,得到如下結(jié)果:
表2
支付方式 | 現(xiàn)金 | 乘車卡 | 掃碼 |
人次 | 10 | 60 | 30 |
已知該線路公交車票價(jià)2元,使用現(xiàn)金支付的乘客無優(yōu)惠,使用乘車卡支付的乘客享受8折優(yōu)惠,掃碼支付的乘客隨機(jī)優(yōu)惠,根據(jù)調(diào)査結(jié)果發(fā)現(xiàn):使用掃碼支付的乘客中有5名乘客享受7折優(yōu)惠,有10名乘客享受8折優(yōu)惠,有15名乘客享受9折優(yōu)惠.預(yù)計(jì)該車隊(duì)每輛車每個(gè)月有1萬人次乘車,根據(jù)所給數(shù)據(jù),以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,在不考慮其他因素的條件下,按照上述收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn),試估計(jì)該車隊(duì)一輛車一年的總收入.
參考數(shù)據(jù):
62.14 | 1.54 | 2535 | 50.12 | 3.47 |
其中.
參考公式:
對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:.
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【題目】某連鎖超市旗艦店在元旦當(dāng)天推出一個(gè)購物滿百元抽獎(jiǎng)活動(dòng),凡是一次性購物滿百元者可以從抽獎(jiǎng)箱中一次性任意摸出2個(gè)小球(抽獎(jiǎng)箱內(nèi)共有5個(gè)小球,每個(gè)小球大小形狀完全相同,這5個(gè)小球上分別標(biāo)有1,2,3,4,5 這5個(gè)數(shù)字).
(1)列出摸出的2個(gè)小球的所有可能的結(jié)果.
(2)已知該超市活動(dòng)規(guī)定:摸出的2個(gè)小球都是偶數(shù)為一等獎(jiǎng);摸出的2個(gè)小球都是奇數(shù)為二等獎(jiǎng).請(qǐng)分別求獲得一等獎(jiǎng)的概率與獲得二等獎(jiǎng)的概率.
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