【題目】如圖,在四棱錐中P﹣ABCD,底面ABCD為邊長為 的正方形,PA⊥BD.
(1)求證:PB=PD;
(2)若E,F(xiàn)分別為PC,AB的中點,EF⊥平面PCD,求直線PB與平面PCD所成角的大小.
【答案】
(1)解:連接AC,BD交于點O,連結PO.
∵底面ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,OB=OD.
又PA⊥BD,PA平面PAC,AC平面PAC,PA∩AC=A,
∴BD⊥平面PAC,∵PO平面PAC,
∴BD⊥PO.
又OB=OD,
∴PB=PD
(2)解:設PD的中點為Q,連接AQ,EQ,
則EQ∥CD,EQ= CD,又AF∥CD,AF= = ,
∴EQ∥AF,EQ=AF,
∴四邊形AQEF為平行四邊形,∴EF∥AQ,
∵EF⊥平面PCD,∴AQ⊥平面PCD,
∴AQ⊥PD,∵Q是PD的中點,
∴AP=AD= .
∵AQ⊥平面PCD,∴AQ⊥CD,
又AD⊥CD,AQ∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥PA.
又BD⊥PA,BD∩CD=D,
∴PA⊥平面ABCD.
以A為坐標原點,以AB,AD,AP為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系,
則B( ,0,0),P(0,0, ),A(0,0,0),Q(0, , ).
∴ =(0, , ), =( ,0,﹣ ).
∵AQ⊥平面PCD,∴ 為平面PCD的一個法向量.
∴cos< >= =﹣ .
設直線PB與平面PCD所成角為θ,
則sinθ=|cos< >|= .
∴直線PB與平面PCD所成角為 .
【解析】(1)連接AC,BD交于點O,連結PO,則AC⊥BD,結合PA⊥BD得出BD⊥平面PAC,故而BD⊥PO,又O為BD的中點,得出OP為BD的中垂線,得出結論;(2)設PD的中點為Q,連接AQ,EQ,證明四邊形AQEF是平行四邊形,于是AQ⊥平面PCD,通過證明CD⊥平面PAD得出CD⊥PA,結合PA⊥BD得出PA⊥平面ABCD,以A為原點建立空間直角坐標系,則直線PB與平面PCD所成角的正弦值等于|cos< >|,從而得出線面角的大。
【考點精析】認真審題,首先需要了解空間角的異面直線所成的角(已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知 Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且Sn=2an+n﹣4.
(1)求a1的值;
(2)若bn=an﹣1,試證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列;
(3)求數(shù)列{an}的通項公式,并證明: + +…+ <1.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= sinxcosx﹣sin2x+ .
(1)求f(x)的最小正周期值;
(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)求f(x)在[0, ]上的最值及取最值時x的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】把函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(|φ|< )的圖象上的所有點向左平移 個單位長度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,且g(﹣x)=g(x),則( )
A.y=g(x)在(0, )單調(diào)遞增,其圖象關于直線x= 對稱
B.y=g(x)在(0, )單調(diào)遞增,其圖象關于直線x= 對稱
C.y=g(x)在(0, )單調(diào)遞減,其圖象關于直線x= 對稱
D.y=g(x)在(0, )單調(diào)遞減,其圖象關于直線x= 對稱
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知長方體AC1中,AD=AB=2,AA1=1,E為D1C1的中點,如圖所示.
(Ⅰ)在所給圖中畫出平面ABD1與平面B1EC的交線(不必說明理由);
(Ⅱ)證明:BD1∥平面B1EC;
(Ⅲ)求平面ABD1與平面B1EC所成銳二面角的大。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,PA⊥平面ABCD,PA= ,AB=1.AD=2.∠BAD=120°,E,F(xiàn),G,H分別是BC,PB,PC,AD的中點.
(Ⅰ)求證:PH∥平面GED;
(Ⅱ)過點F作平面α,使ED∥平面α,當平面α⊥平面EDG時,設PA與平面α交于點Q,求PQ的長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=|2x﹣1|,定義f1(x)=x,fn+1(x)=f(fn(x)),已知函數(shù)g(x)=fm(x)﹣x有8個零點,則m的值為( )
A.8
B.4
C.3
D.2
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設,已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個零點, 為的導函數(shù).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設,函數(shù),求證: ;
(Ⅲ)求證:存在大于0的常數(shù),使得對于任意的正整數(shù),且 滿足.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+(1﹣k)x﹣k恰有一個零點在區(qū)間(2,3)內(nèi),則實數(shù)k的取值范圍是
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