【題目】設(shè),已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個零點(diǎn) 的導(dǎo)函數(shù).

(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)設(shè),函數(shù),求證: ;

(Ⅲ)求證:存在大于0的常數(shù),使得對于任意的正整數(shù),且 滿足.

【答案】(Ⅰ)增區(qū)間是, ,遞減區(qū)間是.(Ⅱ)見解析;(III)見解析.

【解析】試題分析:由于,所以判斷的單調(diào)性,需要對二次求導(dǎo),根據(jù)的導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性,給出單調(diào)區(qū)間;由,得 ,.令函數(shù), 分別求導(dǎo)證明.有關(guān)零點(diǎn)問題,利用函數(shù)的單調(diào)性了解函數(shù)的圖像情況,對極值作出相應(yīng)的要求可控制零點(diǎn)的個數(shù).

試題解析:(Ⅰ)解:由,可得,

進(jìn)而可得.令,解得,或.

當(dāng)x變化時, 的變化情況如下表:

x

+

-

+

所以, 的單調(diào)遞增區(qū)間是, ,單調(diào)遞減區(qū)間是.

(Ⅱ)證明:由,得

.

令函數(shù),則.由(Ⅰ)知,當(dāng)時, ,故當(dāng)時, , 單調(diào)遞減;當(dāng)時, 單調(diào)遞增.因此,當(dāng)時, ,可得.

令函數(shù),則.由(Ⅰ)知, 上單調(diào)遞增,故當(dāng)時, , 單調(diào)遞增;當(dāng)時, , 單調(diào)遞減.因此,當(dāng)時, ,可得.

所以, .

(III)證明:對于任意的正整數(shù) , ,且,

,函數(shù).

由(II)知,當(dāng)時, 在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn);

當(dāng)時, 在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).

所以內(nèi)至少有一個零點(diǎn),不妨設(shè)為,則.

由(I)知上單調(diào)遞增,故,

于是.

因?yàn)楫?dāng)時, ,故上單調(diào)遞增,

所以在區(qū)間上除外沒有其他的零點(diǎn),而,故.

又因?yàn)?/span>, , 均為整數(shù),所以是正整數(shù),

從而.

所以.所以,只要取,就有.

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(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Dn;
(3)設(shè)cn=ansin2 ,求數(shù)列{cn}的前2n項(xiàng)和T2n

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(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式;

(Ⅱ)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

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